题目
设函数 f(x,y)=x^2+y^2在约束条件 x+y=1下的极值点是?A. (0,1)B. (1,0)C. ((1)/(2), (1)/(2)) D. (0,0)
设函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$在约束条件 $x+y=1$下的极值点是?
A. (0,1)
B. (1,0)
C. $$ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $$
D. (0,0)
题目解答
答案
C. $$ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $$
解析
步骤 1：引入拉格朗日乘数法
为了在约束条件 $x+y=1$ 下找到函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 的极值点，我们引入拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda(1-x-y)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 2：求偏导数并令其等于零
对拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)$ 分别对 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并令其等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x - y = 0
\end{cases}
$$
步骤 3：解方程组
从方程组中解出 $x$、$y$ 和 $\lambda$。由前两个方程得到 $2x = \lambda$ 和 $2y = \lambda$，从而 $x = y$。将 $x = y$ 代入第三个方程 $1 - x - y = 0$，得到 $1 - 2x = 0$，从而 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。因此，极值点为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。
为了在约束条件 $x+y=1$ 下找到函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 的极值点，我们引入拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda(1-x-y)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 2：求偏导数并令其等于零
对拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)$ 分别对 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并令其等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x - y = 0
\end{cases}
$$
步骤 3：解方程组
从方程组中解出 $x$、$y$ 和 $\lambda$。由前两个方程得到 $2x = \lambda$ 和 $2y = \lambda$，从而 $x = y$。将 $x = y$ 代入第三个方程 $1 - x - y = 0$，得到 $1 - 2x = 0$，从而 $x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$。因此，极值点为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。