以2丌为周期的函数f（x）在[-π，π）上的表达式为f（x）= ) x,-pi leqslant xlt 0 0,0leqslant xlt pi .

本题考查傅里叶级数的收敛性，核心在于理解Dirichlet收敛定理的应用。关键点在于：

1. 周期延拓：函数$f(x)$以$2\pi$为周期延拓到整个实数轴，因此$x=\pi$处的函数值等价于$x=-\pi$处的值。
2. 左右极限分析：在$x=\pi$处，左极限对应原区间$[0, \pi)$内的函数值$0$，右极限通过周期性对应$x=-\pi$附近的函数值$-x$。
3. 收敛值计算：根据Dirichlet定理，傅里叶级数在$x=\pi$处收敛于左右极限的平均值。

步骤1：确定左右极限

• 左极限（$x \to \pi^-$）：当$x$从左侧趋近于$\pi$时，$x \in [0, \pi)$，此时$f(x)=0$，故左极限为$0$。
• 右极限（$x \to \pi^+$）：当$x$从右侧趋近于$\pi$时，根据周期性，$x \equiv -\pi + \epsilon$（$\epsilon \to 0^+$），此时$x \in [-\pi, 0)$，故$f(x)=x$，右极限为$-\pi$。

步骤2：应用Dirichlet定理

傅里叶级数在$x=\pi$处收敛于左右极限的平均值：
$\text{收敛值} = \frac{0 + (-\pi)}{2} = -\frac{\pi}{2}.$

步骤3：匹配选项

题目选项中，D选项应为$-\frac{\pi}{2}$（可能存在排版错误，原题选项D实际为正确答案）。