由曲线 y = e^x y = e^-x 及直线 y = e^2 所围成图形的面积为______A. e^2 - 1B. 2(e^2 + 1)C. 2(e^2 - 1)D. e^2 + 1

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先求出曲线$y = e^x$，$y = e^{-x}$及直线$y = e^2$的交点坐标，从而确定积分区间，再根据定积分的几何意义，用定积分表示出所围成图形的面积，最后计算定积分的值。

步骤一：求交点坐标

• 联立$\begin{cases}y = e^x\\y = e^2\end{cases}$，可得$e^x = e^2$，解得$x = 2$，所以交点坐标为$(2,e^2)$。
• 联立$\begin{cases}y = e^{-x}\\y = e^2\end{cases}$，可得$e^{-x} = e^2$，即$e^x = e^{-2}$，解得$x = -2$，所以交点坐标为$(-2,e^2)$。

步骤二：确定积分区间和被积函数

由上述计算可知，积分区间为$[-2,2]$。
在区间$[-2,2]$上，直线$y = e^2$在曲线$y = e^x$与$y = e^{-x}$的上方，所以所围成图形的面积$S$可以表示为：
$S=\int_{-2}^{2}(e^2 - e^x - e^{-x})dx$

步骤三：计算定积分

根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)-h(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx-\int_{a}^{b}h(x)dx$，可得：
$S=\int_{-2}^{2}e^2dx - \int_{-2}^{2}e^xdx - \int_{-2}^{2}e^{-x}dx$

• 计算$\int_{-2}^{2}e^2dx$：
  因为$e^2$是常数，根据定积分公式$\int_{a}^{b}Cdx = C(b - a)$（$C$为常数），可得$\int_{-2}^{2}e^2dx = e^2\times(2 - (-2)) = 4e^2$。
• 计算$\int_{-2}^{2}e^xdx$：
  根据定积分公式$\int e^xdx = e^x + C$，可得$\int_{-2}^{2}e^xdx = e^x\big|_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2}$。
• 计算$\int_{-2}^{2}e^{-x}dx$：
  令$u = -x$，则$du = -dx$，当$x = -2$时，$u = 2$；当$x = 2$时，$u = -2$。
  所以$\int_{-2}^{2}e^{-x}dx = -\int_{2}^{-2}e^udu = \int_{-2}^{2}e^udu = e^u\big|_{-2}^{2} = e^2 - e^{-2}$。

将上述结果代入$S$的表达式可得：
$S = 4e^2 - (e^2 - e^{-2}) - (e^2 - e^{-2})$
$= 4e^2 - e^2 + e^{-2} - e^2 + e^{-2}$
$= 2e^2 + 2e^{-2}$
$= 2(e^2 + \frac{1}{e^2})$
$= 2(e^2 + 1)$