题目
(5)yln ydx+(x-ln y)dy=0
(5)$y\ln ydx+(x-\ln y)dy=0$
题目解答
答案
将方程改写为以 $x$ 为因变量，$y$ 为自变量的一阶线性微分方程：
\[y \ln y \, dx + (x - \ln y) \, dy = 0 \implies \frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \ln y} = \frac{1}{y}.\]
使用积分因子 $\mu(y) = e^{\int \frac{1}{y \ln y} \, dy} = \ln y$，乘以方程得：
\[\ln y \frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = \frac{\ln y}{y}.\]
左边为 $\frac{d}{dy}(x \ln y)$，积分得：
\[x \ln y = \int \frac{\ln y}{y} \, dy = \frac{(\ln y)^2}{2} + C.\]
解得通解：
\[\boxed{x = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}}.\]