题目
1.设方阵A满足 ^2=A ,则必有【】.-|||-(A) =0 ;(B) A=E ;(C) =0 或 A=E ;( (D) |A|=0 或-|||-|A|=1 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方阵A的性质
方阵A满足 ${A}^{2}=A$ ，这意味着A是幂等矩阵，即A的平方等于A本身。幂等矩阵的特征值只能是0或1。
步骤 2：分析选项
(A) $A=0$：这是幂等矩阵的一种情况，但不是唯一情况。
(B) A=E：这也是幂等矩阵的一种情况，但不是唯一情况。
(C) $A=0$ 或 A=E：虽然这两种情况都是幂等矩阵，但不是所有幂等矩阵都满足这个条件。
(D) |A|=0 或 |A|=1：这是正确的，因为幂等矩阵的行列式只能是0或1。如果A的特征值都是0，则|A|=0；如果A的特征值都是1，则|A|=1。
步骤 3：验证选项
取 $A=({10}^{\circ })$ ，${A}^{2}=A$ ，但 $A\neq 0$ 且 $A\neq E$ 。这说明选项A和B不正确，选项C也不正确，因为存在其他幂等矩阵不满足 $A=0$ 或 A=E。因此，选项D是正确的。
方阵A满足 ${A}^{2}=A$ ，这意味着A是幂等矩阵，即A的平方等于A本身。幂等矩阵的特征值只能是0或1。
步骤 2：分析选项
(A) $A=0$：这是幂等矩阵的一种情况，但不是唯一情况。
(B) A=E：这也是幂等矩阵的一种情况，但不是唯一情况。
(C) $A=0$ 或 A=E：虽然这两种情况都是幂等矩阵，但不是所有幂等矩阵都满足这个条件。
(D) |A|=0 或 |A|=1：这是正确的，因为幂等矩阵的行列式只能是0或1。如果A的特征值都是0，则|A|=0；如果A的特征值都是1，则|A|=1。
步骤 3：验证选项
取 $A=({10}^{\circ })$ ，${A}^{2}=A$ ，但 $A\neq 0$ 且 $A\neq E$ 。这说明选项A和B不正确，选项C也不正确，因为存在其他幂等矩阵不满足 $A=0$ 或 A=E。因此，选项D是正确的。