题目

3.[判断题]设A_(1),A_(2),...,A_(n)为n个事件，若对任意的i，j(1≤i，j≤n)，均有P(A_(i)A_(j))=P(A_(i))P(A_(j))，则A_(1),A_(2),...,A_(n)相互独立.A 对B 错

3.[判断题]设$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$为n个事件，若对任意的i，j(1≤i，j≤n)，均有P(A$_{i}A_{j}$)=P(A$_{i}$)P(A$_{j}$)，则$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$相互独立. A 对 B 错

题目解答

答案

题目要求判断：若对任意的 $i, j$（$1 \leq i, j \leq n$），均有 $P(A_i A_j) = P(A_i) P(A_j)$，则 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立。
分析：

  • 条件：任意两个事件独立，即 $P(A_i A_j) = P(A_i) P(A_j)$。
  • 结论：所有事件相互独立，即任意 $k$（$2 \leq k \leq n$）个事件的联合概率等于各自概率的乘积。

反例：
考虑三个事件 $A_1, A_2, A_3$，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 独立，$A_1$ 和 $A_3$ 独立，$A_2$ 和 $A_3$ 独立，但 $P(A_1 A_2 A_3) \neq P(A_1) P(A_2) P(A_3)$。例如，

  • $A_1$：第一次抛硬币正面，
  • $A_2$：第二次抛硬币正面，
  • $A_3$：两次结果相同。

此时，$P(A_1 A_2 A_3) = \frac{1}{4}$，而 $P(A_1) P(A_2) P(A_3) = \frac{1}{8}$，不满足相互独立条件。

结论：
题目条件仅保证两两独立，无法推出所有事件相互独立。

答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查事件的独立性概念，特别是两两独立与相互独立的区别。

解题核心思路：

  • 相互独立的定义要求任意多个事件的联合概率等于各自概率的乘积，而不仅仅是两两独立。
  • 题目中仅给出两两独立的条件，无法保证三个及以上事件的联合概率满足乘积关系。
  • 通过构造反例（满足两两独立但不满足多个事件独立的情况），即可判断原命题错误。

破题关键点：

  • 明确两两独立 ≠ 相互独立。
  • 通过具体实例（如抛硬币问题）验证存在两两独立但非相互独立的情况。

题目条件：对任意的 $i, j$（$1 \leq i, j \leq n$），有 $P(A_i A_j) = P(A_i) P(A_j)$。
结论要求：判断 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是否相互独立。

关键分析：

  1. 相互独立的定义：
    若 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立，则对任意 $k$（$2 \leq k \leq n$），有
    $P\left(\bigcap_{m=1}^k A_{i_m}\right) = \prod_{m=1}^k P(A_{i_m}).$
    题目仅保证 $k=2$ 的情况，未涉及 $k \geq 3$。

  2. 构造反例：

    • 事件定义：
      • $A_1$：第一次抛硬币正面（概率 $P(A_1) = \frac{1}{2}$）。
      • $A_2$：第二次抛硬币正面（概率 $P(A_2) = \frac{1}{2}$）。
      • $A_3$：两次结果相同（概率 $P(A_3) = \frac{1}{2}$）。
    • 两两独立验证：
      • $P(A_1 A_2) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$，独立。
      • $P(A_1 A_3) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$，独立。
      • $P(A_2 A_3) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$，独立。
    • 三个事件不独立：
      $P(A_1 A_2 A_3) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}.$
    • 结论：两两独立但三个事件不独立，说明原命题不成立。