3.单选题(2.5分)设X与Y相互独立，且Xsim P(lambda_(1))，Ysim P(lambda_(2))（泊松分布），则Z=X+Y服从（）A. P(lambda_(1)-lambda_(2))B. P((lambda_(1))/(lambda_(2)))C. P(lambda_(1)+lambda_(2))D. P(lambda_(1)lambda_(2))

本题考察泊松分布的可可加性。泊松分布的重要性质之一是：若两个随机变量$X$与\描述$1)和\(Y$相互独立，且分别服从参数为$\lambda_1$和$\lambda_2$的泊松分布，则它们的和$Z=X+Y$服从参数为$\lambda_1+\lambda_2$的泊松分布。

详细推导如下：

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda_1\lambda_1^k}{k!}\quad(k=0,1,2,\dots)$
$P(Y=m)=\frac{e-\lambda_2\lambda_2^m}{m!}\quad(m=0,1,2,\dots)$

由于$1)和\(X$与$Y$相互独立，$Z=X+Y$的概率质量函数为：
$\begin{align*}P(Z=n)&=\sum_{k=0}^nP(X=k)P(Y=n-k)\\\\&=\sum_{k=0}^n\left[\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^k}{k!}\cdot\frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{n-k}}}{(n-k)!}\right]\\&=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\sum_{k=0}^n\frac{\lambda_1^k\lambda_2^{n-k}}{k!(n-k)!}\end{align*}$
根据二项式定理$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}=(a+b)^n$，上式可化简为：
$P(Z=n)=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!}$
这正是参数为$\lambda_1+\lambda_2$的泊松分布的概率质量函数。