[题目] int cos (ln x)dx.

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理复合函数积分的能力。关键在于通过两次分部积分，建立关于原积分的方程并求解。

解题核心思路：

1. 选择合适的分部积分变量，将积分拆分为容易处理的部分。
2. 两次分部积分后，将新产生的积分与原积分联立，解出原积分表达式。
3. 注意代数运算的准确性，避免符号错误。

分部积分法应用

第一步：第一次分部积分
设 $u = \cos(\ln x)$，则 $du = -\frac{1}{x} \sin(\ln x) dx$；
设 $dv = dx$，则 $v = x$。
根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\begin{aligned}\int \cos(\ln x) dx &= x \cos(\ln x) - \int x \cdot \left(-\frac{1}{x} \sin(\ln x)\right) dx \\&= x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx.\end{aligned}$

第二步：第二次分部积分
对 $\int \sin(\ln x) dx$ 再次使用分部积分：
设 $u = \sin(\ln x)$，则 $du = \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx$；
设 $dv = dx$，则 $v = x$。
得：
$\begin{aligned}\int \sin(\ln x) dx &= x \sin(\ln x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx \\&= x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx.\end{aligned}$

第三步：联立方程求解
将第二次分部积分的结果代入第一次的结果：
$\begin{aligned}\int \cos(\ln x) dx &= x \cos(\ln x) + \left[ x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx \right] \\&= x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx.\end{aligned}$
将等式两边的 $\int \cos(\ln x) dx$ 移到左边：
$2 \int \cos(\ln x) dx = x \left[ \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \right].$
最终解得：
$\int \cos(\ln x) dx = \frac{x}{2} \left[ \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \right] + C.$