2.设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= ,{x)^2+(y)^2leqslant 1 0 . 则X与Y为 () 。-|||-A.独立同分布 B.独立不同分布-|||-C.不独立同分布 D.不独立也不同分布

考查要点：本题主要考查二维随机变量的独立性与同分布的判断，需要结合联合概率密度与边缘概率密度的关系进行分析。

解题核心思路：

1. 判断同分布：计算X和Y的边缘概率密度，若两者表达式相同，则同分布。
2. 判断独立性：若联合概率密度可分解为仅含x的函数与仅含y的函数的乘积，则X与Y独立；否则不独立。

破题关键点：

• 边缘密度的对称性：单位圆的对称性导致X和Y的边缘密度表达式相同。
• 独立性的乘积形式：联合密度无法分解为边缘密度的乘积，说明不独立。

1. 判断同分布

计算X的边缘概率密度：
$f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} \, dy = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi} \quad (-1 \leq x \leq 1)$
同理，Y的边缘概率密度为：
$f_Y(y) = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi} \quad (-1 \leq y \leq 1)$
结论：X和Y的边缘密度表达式相同，因此同分布。

2. 判断独立性

若X与Y独立，则联合密度应满足：
$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
但实际联合密度为：
$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\0, & \text{其他}\end{cases}$
例如，当$x=0, y=0$时：
$f(0,0) = \dfrac{1}{\pi}, \quad f_X(0) \cdot f_Y(0) = \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{2}{\pi} = \dfrac{4}{\pi^2} \neq \dfrac{1}{\pi}$
结论：联合密度不等于边缘密度的乘积，因此不独立。