题目
平面区域D由曲线 ^2+(y)^2=2y ,=sqrt (x) 及y轴所围成.-|||-(1)求平面区域D的面积;-|||-(2)求平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线交点
曲线 ${x}^{2}+{y}^{2}=2y$ 可以改写为 ${x}^{2}+(y-1)^{2}=1$，这是一个圆心在 $(0,1)$，半径为 $1$ 的圆。曲线 $y=\sqrt{x}$ 是一个抛物线。为了找到它们的交点，我们解方程组：
\[
\begin{cases}
x^{2}+(y-1)^{2}=1 \\
y=\sqrt{x}
\end{cases}
\]
将 $y=\sqrt{x}$ 代入圆的方程，得到：
\[
x^{2}+(\sqrt{x}-1)^{2}=1
\]
解这个方程，我们得到 $x=0$ 或 $x=1$。因此，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：计算平面区域D的面积
平面区域D的面积可以通过计算两个函数之间的积分来得到。由于 $y=\sqrt{x}$ 在 $y$ 轴和 $x=1$ 之间，我们计算从 $x=0$ 到 $x=1$ 的积分：
\[
S = \int_{0}^{1} (\sqrt{2y-y^{2}} - y^{2}) dy
\]
其中 $\sqrt{2y-y^{2}}$ 是圆的上半部分的方程。这个积分可以分解为两个部分：
\[
S = \int_{0}^{1} \sqrt{2y-y^{2}} dy - \int_{0}^{1} y^{2} dy
\]
第一个积分是圆的上半部分的面积，第二个积分是抛物线下的面积。计算这两个积分，我们得到：
\[
S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}
\]
步骤 3：计算旋转体的体积
平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可以通过计算旋转体的体积公式来得到。旋转体的体积公式为：
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx
\]
在这个问题中，$f(x) = \sqrt{2y-y^{2}}$，因此：
\[
V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{2y-y^{2}})^{2} dy
\]
计算这个积分，我们得到：
\[
V = \frac{4}{3}
\]
曲线 ${x}^{2}+{y}^{2}=2y$ 可以改写为 ${x}^{2}+(y-1)^{2}=1$，这是一个圆心在 $(0,1)$，半径为 $1$ 的圆。曲线 $y=\sqrt{x}$ 是一个抛物线。为了找到它们的交点，我们解方程组：
\[
\begin{cases}
x^{2}+(y-1)^{2}=1 \\
y=\sqrt{x}
\end{cases}
\]
将 $y=\sqrt{x}$ 代入圆的方程，得到：
\[
x^{2}+(\sqrt{x}-1)^{2}=1
\]
解这个方程，我们得到 $x=0$ 或 $x=1$。因此，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：计算平面区域D的面积
平面区域D的面积可以通过计算两个函数之间的积分来得到。由于 $y=\sqrt{x}$ 在 $y$ 轴和 $x=1$ 之间，我们计算从 $x=0$ 到 $x=1$ 的积分：
\[
S = \int_{0}^{1} (\sqrt{2y-y^{2}} - y^{2}) dy
\]
其中 $\sqrt{2y-y^{2}}$ 是圆的上半部分的方程。这个积分可以分解为两个部分：
\[
S = \int_{0}^{1} \sqrt{2y-y^{2}} dy - \int_{0}^{1} y^{2} dy
\]
第一个积分是圆的上半部分的面积，第二个积分是抛物线下的面积。计算这两个积分，我们得到：
\[
S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}
\]
步骤 3：计算旋转体的体积
平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可以通过计算旋转体的体积公式来得到。旋转体的体积公式为：
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx
\]
在这个问题中，$f(x) = \sqrt{2y-y^{2}}$，因此：
\[
V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{2y-y^{2}})^{2} dy
\]
计算这个积分，我们得到：
\[
V = \frac{4}{3}
\]