题目

计算不定积分 int (2 sin frac(1)/(x))(x^2) dx.

计算不定积分 $\int \frac{2 \sin \frac{1}{x}}{x^2} dx$.

题目解答

答案

令 $u = \frac{1}{x}$，则 $du = -\frac{1}{x^2}dx$，即 $\frac{1}{x^2}dx = -du$。
代入原积分得：
$\int \frac{2 \sin \frac{1}{x}}{x^2} \, dx = \int 2 \sin u \cdot (-du) = -2 \int \sin u \, du = 2 \cos u + C$
将 $u = \frac{1}{x}$ 代回，得：
$2 \cos \frac{1}{x} + C$

答案： $\boxed{2 \cos \frac{1}{x} + C}$

解析

本题考查不定积分的换元积分法。解题思路是通过合适的变量代换，将原积分转化为一个较为简单的积分形式，然后利用基本积分公式进行计算，最后再将代换的变量还原。

  1. 进行变量代换：
    • 令$u = \frac{1}{x}$，对$u$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$du = d(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}dx$，移项得到$\frac{1}{x^2}dx = -du$。
  2. 将变量代换代入原积分：
    • 原积分$\int \frac{2 \sin \frac{1}{x}}{x^2} dx$，把$\frac{1}{x}=u$和$\frac{1}{x^2}dx = -du$代入，可得$\int \frac{2 \sin \frac{1}{x}}{x^2} dx=\int 2\sin u\cdot(-du)$。
    • 根据积分的性质$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数），则$\int 2\sin u\cdot(-du)=-2\int \sin u du$。
  3. 利用基本积分公式计算积分：
    • 由基本积分公式$\int \sin xdx=-\cos x + C$（$C$为积分常数），可得$-2\int \sin u du=-2\times(-\cos u)+C = 2\cos u + C$。
  4. 将变量还原：
    • 把$u = \frac{1}{x}$代回$2\cos u + C$，得到$2\cos \frac{1}{x}+C$。