4.设 (x,y)=x+((y)^2-1)arctan sqrt (dfrac {x)(y)} ,求fx(x,1).

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 求偏导数。函数 $f(x,y)$ 可以写成 $f(x,y) = x + (y^2 - 1) \arctan \sqrt{\frac{x}{y}}$。我们对 $x$ 求偏导数，将 $y$ 视为常数。

步骤 2：计算偏导数
对 $f(x,y)$ 关于 $x$ 求偏导数，我们得到：
$$
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left[ x + (y^2 - 1) \arctan \sqrt{\frac{x}{y}} \right]
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \frac{\partial}{\partial x} \left[ \arctan \sqrt{\frac{x}{y}} \right]
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{1}{1 + \left( \sqrt{\frac{x}{y}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{1}{1 + \frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{1}{\frac{y + x}{y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{y}{y + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{1}{y + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{1}{y + x} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}
$$
$$
= 1 + (y^2 - 1) \cdot \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}(y + x)}
$$

步骤 3：代入 $y=1$
将 $y=1$ 代入 $f_x(x,y)$，我们得到：
$$
f_x(x,1) = 1 + (1^2 - 1) \cdot \frac{\sqrt{1}}{2\sqrt{x}(1 + x)}
$$
$$
= 1 + 0 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
$$
$$
= 1
$$