2.验证拉格朗日中值定理对函数 =4(x)^3-5(x)^2+x-2 在区间[0,1]上的正确性.

本题考查拉格朗日中值定理的验证，解题思路是先判断函数是否满足拉格朗日中值定理的条件，再求出满足定理的 $\xi$ 的值。

1. 判断函数是否满足拉格朗日中值定理的条件：
   • 函数 $y = f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 2$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，因为多项式函数在其定义域内是连续的。
   • 函数 $y = f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 2$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，对函数求导可得 $f^\prime(x) = 12x^2 - 10x + 1$，多项式函数在其定义域内是可导的。
   • 所以函数 $y = 4x^3 - 5x^2 + x - 2$ 在区间 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理的条件。
2. 计算满足定理的 $\xi$ 的值：
   • 计算 $f(1)$ 和 $f(0)$ 的值：
     • $f(1) = 4\times1^3 - 5\times1^2 + 1 - 2 = 4 - 5 + 1 - 2 = -2$。
     • $f(0) = 4\times0^3 - 5\times0^2 + 0 - 2 = -2$。
   • 根据拉格朗日中值定理，要使 $f^\prime(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$，即 $f^\prime(\xi) = \frac{-2 - (-2)}{1 - 0} = 0$。
   • 因为 $f^\prime(x) = 12x^2 - 10x + 1$，所以令 $12\xi^2 - 10\xi + 1 = 0$。
   • 根据一元二次方程的求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 12$，$b = -10$，$c = 1$，可得：
     • $\xi = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\times12\times1}}{2\times12} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{24} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{24} = \frac{10 \pm 2\sqrt{13}}{24} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{12}$。
   • 因为 $\frac{5 - \sqrt{13}}{12} \in (0,1)$，$\frac{5 + \sqrt{13}}{12} \in (0,1)$，所以存在 $\xi = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{12} \in (0,1)$，使 $f^\prime(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$。