4.假设随机变量X服从指数分布, = X,2

本题考查随机变量函数的分布函数及间断点判断，核心是先确定$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再通过分析分布函数的间断点数量得出结论。

步骤1：明确$Y$的定义

随机变量$Y$是$X$的函数：
$Y = \begin{casescases} X, & 2 < X < 5 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
（注：题目中“$0,\end{matrix} \right.$ ()”应为笔误，结合解析推测\(Y$在$X \text{其他情况（}X \leq 2 \text{或} X \geq 5\text{）时取}0$）

步骤2：推导$Y$的分布函数$F_Y(y)$

分布函数$F_Y(y) = P(Y \leq y)$，分情况讨论：

• 当$y < 0$时：$Y \leq y$不可能发生，故$F_Y(y) = 0$；
• 当$0 \leq y < 2$时：$Y \leq y$等价于$X \leq y$（因$y <\\(X \leq y$时$Y=X$，且$X>2$时$Y=X$不影响），故$F_Y(y) = P(X \leq y) = 1 - e^{-\lambda y}$（指数分布$指数分布\(P(X \leq y)=1 - e^{-\lambda y}$）；
• 当$y \geq 2$时：$Y \leq y$恒成立（因$Y$最大值为$5$，但$y \geq2$时$Y \leq y$概率为1），故$F_Y(y) = 1$。

步骤3：判断$F_Y(y)$的间断点

分布函数$F_Y(y)$的表达式为：
$F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ 1 - e^{-\lambda y}, & 0 \leq y < 2 \\ 1, & y \geq 2 \end{cases}$
仅在$y=2$处，左极限$\lim_{y \to 2^-} F_Y(y) = 1 - e^{-2\lambda 2}$，右极限$\lim_{y \to 2^+} F_Y(y) = 1$，左右极限不相等，故$y=2$是唯一间断点。

步骤4：匹配选项

• (A)连续函数$Y$非连续（有间断点），错误；
• (B)仅一个间断点，错误；
• (C)阶梯函数需分段常数，$Y$非阶梯函数，错误；
• (D)恰好一个间断点，正确。