题目
二、填空题 (7sim 12 小题,每题3分,共18分)-|||-7.在R^3中,向量 alpha =((3,7,1))^T 在基 _(1)=((1,3,5))^T _(2)=((6,3,2))^T _(3)=((3,1,0))^T 下的坐-|||-标为_ (33,-82,154) )T-|||-8.设 (xi )_(1)=((1,0,0))^T, (xi )_(2)=((0,1,0))^T (xi )_(3)=((0,0,1))^T (eta )_(1)=((0,0,2))^T (eta )_(2)=((0,3,0))^T (eta )_(3)=(4,0,,-|||-0)^T是线性空间R^3的两组基,则从基ξ1,ξ2,ξ3到基π1,m2,的过渡矩阵是 __ .-|||-9.设R^3中的线性变换σ为 sigma (x,y,z)=(x+y+z,0,0), 则 (1,5,-2)= __ ;σ在基-|||-_(1)=(1,0,0) _(2)=(1,1,0) _(3)=(1,1,1) 下的矩阵为 __-|||-10.设α1,α2,α3与β1,β2,β3是R^3的两组基,且由基β1,β2,β3到α1,α2,α3的过渡矩阵 A=-|||-1 1 1-|||-1 1 0 α在基β1,β2,β3下的坐标为 ((2,-1,3))^T, 则α在基α1,α2,α3下的坐标为-|||-1 0 0 J-|||-(3, -.4,3) T-|||-11.R^3中的子空间 = (x,y,z)|x+y+z=0 的一组基为_ (1,0,-1),0,1,-1-|||-12.设A为 times 4 矩阵,且 (A)=2, _(1)=((1,1,2,3))^T _(2)=((-1,1,4,-1))^T _(3)=(5,-1,-|||--8,9) 是齐次方程组 Ax=0 的解向量,则 Ax=0 的解空间的一组标准正交基为-|||-dfrac (1)(sqrt {15)}(t,1,2,3) dfrac (1)(sqrt {39)}(-2,1,5,-3)
题目解答
答案
答案见上
解析
步骤 1：确定向量α在基a1, a2, a3下的坐标
向量α在基a1, a2, a3下的坐标可以通过解线性方程组得到。设α在基a1, a2, a3下的坐标为(x, y, z)，则有：
$$
\begin{align*}
x(1,3,5)^T + y(6,3,2)^T + z(3,1,0)^T &= (3,7,1)^T \\
\end{align*}
$$
步骤 2：解线性方程组
将上述方程组写成矩阵形式，得到：
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 6 & 3 \\
3 & 3 & 1 \\
5 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
3 \\
7 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
步骤 3：求解矩阵方程
通过高斯消元法或矩阵求逆法求解上述方程组，得到：
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
33 \\
-82 \\
154 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
向量α在基a1, a2, a3下的坐标可以通过解线性方程组得到。设α在基a1, a2, a3下的坐标为(x, y, z)，则有：
$$
\begin{align*}
x(1,3,5)^T + y(6,3,2)^T + z(3,1,0)^T &= (3,7,1)^T \\
\end{align*}
$$
步骤 2：解线性方程组
将上述方程组写成矩阵形式，得到：
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 6 & 3 \\
3 & 3 & 1 \\
5 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
3 \\
7 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
步骤 3：求解矩阵方程
通过高斯消元法或矩阵求逆法求解上述方程组，得到：
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
33 \\
-82 \\
154 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$