3.设随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= 0, x

考查要点：本题主要考查分布函数的性质，特别是如何利用分布函数计算特定点的概率。关键在于理解分布函数在分段点处的跳跃对应离散概率，而连续部分的概率密度则通过分布函数的变化趋势体现。

解题核心思路：

• 分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x)$。
• 离散点概率计算：若分布函数在某点$x_0$处存在跳跃，则$P(X = x_0) = F(x_0^+) - F(x_0^-)$，其中$F(x_0^+)$是右极限，$F(x_0^-)$是左极限。
• 本题关键：观察到$x=1$是分段点，需分别计算$F(1)$和左极限$F(1^-)$，两者之差即为所求概率。

步骤1：确定$F(1)$的值
根据题设，当$x \geq 1$时，$F(x) = 1 - e^{-x}$，因此：
$F(1) = 1 - e^{-1}.$

步骤2：确定$F(1^-)$的值
当$x$趋近于1的左侧（即$0 \leq x < 1$时），$F(x) = \dfrac{1}{2}$，因此左极限为：
$F(1^-) = \dfrac{1}{2}.$

步骤3：计算$P(X=1)$
根据分布函数的跳跃性质：
$P(X=1) = F(1) - F(1^-) = \left(1 - \dfrac{1}{e}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{e}.$