题目
8.（判断题，10.0分）从lim_(xto0)f(x,0)=0和lim_(xto0)f(x,2x)=2知lim_(xto0y)(x,y)不存在.A. 对B. 错
8.（判断题，10.0分）
从$\lim_{x\to0}f(x,0)=0$和$\lim_{x\to0}f(x,2x)=2$知$\lim_{x\to0y}(x,y)$不存在.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：分析给定的极限条件
根据题目，我们有两个极限条件：
- 当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 0$，有 $\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$；
- 当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 2x$，有 $\lim_{x \to 0} f(x, 2x) = 2$。
步骤 2：判断二元函数极限是否存在
根据二元函数极限的定义，如果一个二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 的极限存在，那么无论从哪个路径趋近于 $(a, b)$，函数值的极限都应该是相同的。换句话说，如果存在不同的路径使得函数值的极限不同，那么该二元函数在点 $(a, b)$ 的极限不存在。
步骤 3：应用定义判断
根据步骤 1 中的条件，我们发现当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 0$ 和 $y = 2x$ 趋近于 $(0, 0)$ 时，函数值的极限分别为 $0$ 和 $2$，即 $\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$ 和 $\lim_{x \to 0} f(x, 2x) = 2$。由于这两个极限值不同，根据二元函数极限的定义，可以判断 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在。
根据题目，我们有两个极限条件：
- 当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 0$，有 $\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$；
- 当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 2x$，有 $\lim_{x \to 0} f(x, 2x) = 2$。
步骤 2：判断二元函数极限是否存在
根据二元函数极限的定义，如果一个二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 的极限存在，那么无论从哪个路径趋近于 $(a, b)$，函数值的极限都应该是相同的。换句话说，如果存在不同的路径使得函数值的极限不同，那么该二元函数在点 $(a, b)$ 的极限不存在。
步骤 3：应用定义判断
根据步骤 1 中的条件，我们发现当 $x \to 0$ 时，沿路径 $y = 0$ 和 $y = 2x$ 趋近于 $(0, 0)$ 时，函数值的极限分别为 $0$ 和 $2$，即 $\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$ 和 $\lim_{x \to 0} f(x, 2x) = 2$。由于这两个极限值不同，根据二元函数极限的定义，可以判断 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在。