题目
用立方差分解因式.(1) x^3 - 27;(2) x^3 - 1000;(3) 8x^3 - 1;(4) x^6 - 8;(5) x - 1.
用立方差分解因式. (1) $x^3 - 27$; (2) $x^3 - 1000$; (3) $8x^3 - 1$; (4) $x^6 - 8$; (5) $x - 1$.
题目解答
答案
我们来逐题使用**立方差公式**分解因式。
---
### 立方差公式：
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
---
### (1) $x^3 - 27$
观察到 $27 = 3^3$，所以：
$$
x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
$$
---
### (2) $x^3 - 1000$
观察到 $1000 = 10^3$，所以：
$$
x^3 - 1000 = x^3 - 10^3 = (x - 10)(x^2 + 10x + 100)
$$
---
### (3) $8x^3 - 1$
观察到 $8x^3 = (2x)^3$，$1 = 1^3$，所以：
$$
8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)
$$
---
### (4) $x^6 - 8$
观察到 $x^6 = (x^2)^3$，$8 = 2^3$，所以：
$$
x^6 - 8 = (x^2)^3 - 2^3 = (x^2 - 2)((x^2)^2 + x^2 \cdot 2 + 2^2) = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)
$$
---
### (5) $x - 1$
注意：这个表达式本身不是立方差的形式，但它可以看作是：
$$
x - 1 = x^1 - 1^1
$$
虽然它不是立方差，但如果强行使用立方差公式，我们可以将它看作：
$$
x - 1 = x^3 - 1^3 \quad \text{当 } x = x^{1/3}
$$
但这样会引入根号，反而复杂。
更合理的是：**$x - 1$ 本身已经是线性表达式，无法进一步分解**。
---
### 最终答案：
(1) $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$
(2) $x^3 - 1000 = (x - 10)(x^2 + 10x + 100)$
(3) $8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$
(4) $x^6 - 8 = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$
(5) $x - 1$：**不能再分解**（已经是最简形式）
---
✅ **答案总结：**
$$
\boxed{
\begin{aligned}
(1)\ & (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \\
(2)\ & (x - 10)(x^2 + 10x + 100) \\
(3)\ & (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \\
(4)\ & (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4) \\
(5)\ & \text{不能再分解}
\end{aligned}
}
$$
解析
立方差公式是分解因式的重要工具，其核心形式为：
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
关键点在于识别题目中的两项是否为某个数（或代数式）的立方。对于非明显立方形式的题目，可能需要通过变形（如提取公因式、改写指数等）转化为立方差结构。
第（1）题
观察：$27 = 3^3$，因此原式可写为：
$x^3 - 3^3$
应用公式：
$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$
第（2）题
观察：$1000 = 10^3$，因此原式可写为：
$x^3 - 10^3$
应用公式：
$x^3 - 10^3 = (x - 10)(x^2 + 10x + 100)$
第（3）题
变形：$8x^3 = (2x)^3$，$1 = 1^3$，因此原式可写为：
$(2x)^3 - 1^3$
应用公式：
$(2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$
第（4）题
变形：$x^6 = (x^2)^3$，$8 = 2^3$，因此原式可写为：
$(x^2)^3 - 2^3$
应用公式：
$(x^2)^3 - 2^3 = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$
第（5）题
分析：$x - 1$ 是一次多项式，无法进一步分解。虽然形式上可勉强视为 $x^1 - 1^1$，但不符合立方差公式的条件（需为三次方）。