题目
2.求一曲线 =f(x), 使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定导数
根据题目条件，曲线 y=f(x) 在每一点 (x,y) 处的切线斜率为 2x，即 f'(x) = 2x。
步骤 2：求原函数
为了找到原函数 f(x)，我们需要对 f'(x) 进行积分。即：
\[ f(x) = \int f'(x) dx = \int 2x dx \]
\[ f(x) = x^2 + C \]
其中 C 是积分常数。
步骤 3：确定常数 C
题目中给出曲线通过点 (2,5)，即当 x=2 时，y=5。将这个条件代入 f(x) 中，可以求出 C 的值。
\[ 5 = 2^2 + C \]
\[ 5 = 4 + C \]
\[ C = 1 \]
根据题目条件，曲线 y=f(x) 在每一点 (x,y) 处的切线斜率为 2x，即 f'(x) = 2x。
步骤 2：求原函数
为了找到原函数 f(x)，我们需要对 f'(x) 进行积分。即：
\[ f(x) = \int f'(x) dx = \int 2x dx \]
\[ f(x) = x^2 + C \]
其中 C 是积分常数。
步骤 3：确定常数 C
题目中给出曲线通过点 (2,5)，即当 x=2 时，y=5。将这个条件代入 f(x) 中，可以求出 C 的值。
\[ 5 = 2^2 + C \]
\[ 5 = 4 + C \]
\[ C = 1 \]