已知抛物线 y = px^2 + qx（其中 p < 0, q > 0）在第一象限内与直线 x + y = 5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积为 A。问 p 和 q 为何值时，A 达到最大值，并求出此最大值。

我们来逐步解决这个题目：

题目分析

我们已知抛物线方程为：

$y = px^2 + qx$

其中 $ p < 0 $，$ q > 0 $，且抛物线在第一象限与直线 $ x + y = 5 $ 相切。

同时，抛物线与 $ x $ 轴所围成的图形的面积为 $ A $。要求在满足条件的前提下，使得面积 $ A $ 最大，求出对应的 $ p $、$ q $ 以及最大面积。

第一步：求抛物线与直线的切点

直线方程为：

$x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x$

抛物线方程为：

$y = px^2 + qx$

令两者相等，得到：

$px^2 + qx = 5 - x \Rightarrow px^2 + (q + 1)x - 5 = 0$

由于抛物线与直线相切，说明这个方程有唯一实根，即判别式为 0：

$\Delta = (q + 1)^2 - 4p(-5) = 0 \Rightarrow (q + 1)^2 + 20p = 0 \Rightarrow (q + 1)^2 = -20p$

这是一个关键方程，我们记为 (1)。

第二步：求抛物线与 $ x $ 轴围成的面积 $ A $

抛物线与 $ x $ 轴的交点是：

$px^2 + qx = 0 \Rightarrow x(px + q) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{或} \quad x = -\frac{q}{p}$

所以，抛物线与 $ x $ 轴围成的图形在区间 $ [0, -\frac{q}{p}] $ 上，面积为：

$A = \int_0^{-q/p} (px^2 + qx)\, dx$

计算这个积分：

$A = \int_0^{-q/p} (px^2 + qx)\, dx = \left[ \frac{p}{3}x^3 + \frac{q}{2}x^2 \right]_0^{-q/p}$

代入上限 $ x = -\frac{q}{p} $：

$A = \frac{p}{3} \left( -\frac{q}{p} \right)^3 + \frac{q}{2} \left( -\frac{q}{p} \right)^2 = \frac{p}{3} \cdot \left( -\frac{q^3}{p^3} \right) + \frac{q}{2} \cdot \frac{q^2}{p^2} = -\frac{q^3}{3p^2} + \frac{q^3}{2p^2} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \cdot \frac{q^3}{p^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q^3}{p^2}$

所以面积为：

$A = \frac{1}{6} \cdot \frac{q^3}{p^2}$

我们希望在满足条件 (1) 的前提下，使得这个面积最大。

第三步：利用约束条件 (1) 消元，化为单变量函数

由 (1)：

$(q + 1)^2 = -20p \Rightarrow p = -\frac{(q + 1)^2}{20}$

代入面积公式：

$A = \frac{1}{6} \cdot \frac{q^3}{p^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q^3}{\left( -\frac{(q + 1)^2}{20} \right)^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q^3}{\frac{(q + 1)^4}{400}} = \frac{400}{6} \cdot \frac{q^3}{(q + 1)^4}$

$A = \frac{200}{3} \cdot \frac{q^3}{(q + 1)^4}$

我们记这个函数为：

$A(q) = \frac{200}{3} \cdot \frac{q^3}{(q + 1)^4}$

第四步：求函数 $ A(q) $ 的最大值

我们对 $ A(q) $ 求导，找极值点。

令：

$f(q) = \frac{q^3}{(q + 1)^4}$

用商法则求导：

$f'(q) = \frac{(3q^2)(q + 1)^4 - q^3 \cdot 4(q + 1)^3}{(q + 1)^8} = \frac{(q + 1)^3 \left[ 3q^2(q + 1) - 4q^3 \right]}{(q + 1)^8} = \frac{3q^2(q + 1) - 4q^3}{(q + 1)^5}$

计算分子：

$3q^2(q + 1) - 4q^3 = 3q^3 + 3q^2 - 4q^3 = -q^3 + 3q^2$

所以：

$f'(q) = \frac{-q^3 + 3q^2}{(q + 1)^5} = \frac{q^2(-q + 3)}{(q + 1)^5}$

令导数为 0，得到：

$q^2(-q + 3) = 0 \Rightarrow q = 0 \quad \text{或} \quad q = 3$

我们只考虑 $ q > 0 $，所以取 $ q = 3 $

第五步：求对应的 $ p $ 和最大面积

当 $ q = 3 $，代入公式：

$p = -\frac{(q + 1)^2}{20} = -\frac{16}{20} = -\frac{4}{5}$

代入面积公式：

$A = \frac{200}{3} \cdot \frac{q^3}{(q + 1)^4} = \frac{200}{3} \cdot \frac{27}{256} = \frac{200 \cdot 27}{3 \cdot 256} = \frac{5400}{768} = \frac{225}{32}$

最终答案

• 当 $ p = -\frac{4}{5} $，$ q = 3 $ 时，面积 $ A $ 达到最大值；
• 最大面积为：

$\boxed{\frac{225}{32}}$