题目
15 填空 (3分) 设sum是圆锥面x^2+y^2=z^2(0le zle h)的外侧，则iintlimits_(sum)(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=____.
15 填空 (3分) 设$\sum$是圆锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2}(0\le z\le h)$的外侧，则
$\iint\limits_{\sum}(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=$____.
题目解答
答案
设向量场 $\mathbf{F} = (y-z, z-x, x-y)$，其散度为：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (y-z)}{\partial x} + \frac{\partial (z-x)}{\partial y} + \frac{\partial (x-y)}{\partial z} = 0.
\]
由高斯公式，闭合曲面（圆锥面 $\sum$ + 平面 $z=h$）的通量为：
\[
\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 0.
\]
平面 $z=h$（上侧）的通量为：
\[
\iint_{\sum'} (x-y) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^h r^2 (\cos\theta - \sin\theta) \, dr \, d\theta = 0.
\]
因此，圆锥面 $\sum$ 的通量为：
\[
0 - 0 = 0.
\]
答案：$\boxed{0}$