题目
求(x+y)dx+(1 +sinπx)dy，式中L是从点A(0,1)沿折线(x+y)dx+(1 +sinπx)dy到B(2,3)的一段。
求
，式中L是从点A(0,1)沿折线
到B(2,3)的一段。
题目解答
答案
由题，可将L分为两段L1和L2：
；
，
那么原曲线积分可分为两部分
，又：
所以
综上，本题的答案为
。
解析
步骤 1：确定折线L的两段
折线$y=|2x-1|$在点A(0,1)和B(2,3)之间可以分为两段，L1和L2。L1是从A到点C(1/2,0)，L2是从C到B。
步骤 2：计算L1上的积分
L1的参数方程为$x=x, y=1-2x$，其中$x$从0变到1/2。将参数方程代入原积分，得到${I}_{1}={\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}(x+1-2x)dx+(1+\sin \pi x)(-2)dx$。
步骤 3：计算L2上的积分
L2的参数方程为$x=x, y=2x-1$，其中$x$从1/2变到2。将参数方程代入原积分，得到${I}_{2}={\int }_{\dfrac {1}{2}}^{2}(x+2x-1)dx+(1+\sin \pi x)2dx$。
步骤 4：计算总积分
总积分$I={I}_{1}+{I}_{2}$。
折线$y=|2x-1|$在点A(0,1)和B(2,3)之间可以分为两段，L1和L2。L1是从A到点C(1/2,0)，L2是从C到B。
步骤 2：计算L1上的积分
L1的参数方程为$x=x, y=1-2x$，其中$x$从0变到1/2。将参数方程代入原积分，得到${I}_{1}={\int }_{0}^{\dfrac {1}{2}}(x+1-2x)dx+(1+\sin \pi x)(-2)dx$。
步骤 3：计算L2上的积分
L2的参数方程为$x=x, y=2x-1$，其中$x$从1/2变到2。将参数方程代入原积分，得到${I}_{2}={\int }_{\dfrac {1}{2}}^{2}(x+2x-1)dx+(1+\sin \pi x)2dx$。
步骤 4：计算总积分
总积分$I={I}_{1}+{I}_{2}$。