21.设随机变量X和Y相互独立,试在以下情况下求 Z=X+Y 的概率密度,-|||-(1) sim U(0,1),Ysim U(0,1) ;-|||-(2) sim U(0,1),Ysim EXP(1).

考查要点：本题主要考查独立随机变量和的卷积公式的应用，需要根据不同的分布类型确定积分上下限，并分段讨论结果。

解题核心思路：

1. 卷积公式：对于独立随机变量$X$和$Y$，和$Z=X+Y$的概率密度为$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$。
2. 确定积分区间：根据$X$和$Y$的定义域，找到$x$和$z-x$同时有效的区间。
3. 分段讨论：根据$z$的不同取值范围，分情况计算积分。

破题关键点：

• 均匀分布的卷积（第1小题）：积分区间随$z$在$[0,1)$和$[1,2)$时不同。
• 均匀分布与指数分布的卷积（第2小题）：需注意指数分布的非负性，分$z<0$、$0 \leq z <1$和$z \geq1$讨论。

第（1）题：$X \sim U(0,1)$，$Y \sim U(0,1)$

步骤1：确定有效积分区间

• $X$和$Y$的密度函数均为$f_X(x)=f_Y(y)=1$当$0 \leq x,y \leq1$，否则为0。
• 对于$Z=X+Y$，当$z <0$或$z >2$时，$f_Z(z)=0$。
• 当$0 \leq z <1$时：$x$需满足$0 \leq x \leq z$（因$z-x \geq0$且$x \leq1$）。
• 当$1 \leq z <2$时：$x$需满足$z-1 \leq x \leq1$（因$z-x \leq1$且$x \geq0$）。

步骤2：计算积分

• $0 \leq z <1$：
  $f_Z(z)=\int_{0}^{z} 1 \cdot 1 \, dx = z.$
• $1 \leq z <2$：
  $f_Z(z)=\int_{z-1}^{1} 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z.$

第（2）题：$X \sim U(0,1)$，$Y \sim \text{EXP}(1)$

步骤1：确定有效积分区间

• $X$的密度函数为$f_X(x)=1$当$0 \leq x \leq1$，否则为0。
• $Y$的密度函数为$f_Y(y)=e^{-y}$当$y \geq0$，否则为0。
• 对于$Z=X+Y$，当$z <0$时，$f_Z(z)=0$。
• 当$0 \leq z <1$时：$x$需满足$0 \leq x \leq z$（因$z-x \geq0$且$x \leq1$）。
• 当$z \geq1$时：$x$需满足$0 \leq x \leq1$（因$z-x \geq0$）。

步骤2：计算积分

• $0 \leq z <1$：
  $f_Z(z)=\int_{0}^{z} 1 \cdot e^{-(z-x)} \, dx = e^{-z} \int_{0}^{z} e^{x} \, dx = 1 - e^{-z}.$
• $z \geq1$：
  $f_Z(z)=\int_{0}^{1} 1 \cdot e^{-(z-x)} \, dx = e^{-z} \int_{0}^{1} e^{x} \, dx = (e-1)e^{-z}.$