已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0.underset(lim)(x→0)(f(x))/(1-cosx)=2．则在点x=0处f(x)( )A. 不可导B. 可导，且f′(0)≠0C. 取得极大值D. 取得极小值

考查要点：本题主要考查极限的计算、洛必达法则的应用，以及利用二阶导数判断极值的能力。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：当$x \to 0$时，分子$f(x) \to 0$（因$f(0)=0$且连续），分母$1-\cos x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则。
2. 多次应用洛必达法则：通过两次求导，将原极限转化为二阶导数的表达式，从而确定$f''(0)$的值。
3. 极值判定：根据二阶导数的符号（$f''(0) > 0$），判断$x=0$是否为极小值点。

破题关键点：

• 两次洛必达法则的连续应用是关键步骤，需注意每次应用后极限的形式是否仍满足条件。
• 二阶导数的存在性隐含在题目条件中，通过极限的存在性可推导出$f''(0)$存在。

步骤1：应用第一次洛必达法则
原极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 2$
因分子分母均为$0$型，对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{\sin x} = 2$

步骤2：应用第二次洛必达法则
此时极限仍为$\frac{0}{0}$型（因$\sin 0 = 0$且假设$f'(x)$连续），继续求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{\cos x} = 2$
当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，故：
$f''(0) = 2$

步骤3：判断极值
因$f''(0) = 2 > 0$，根据极值第二充分条件，$x=0$是$f(x)$的极小值点。