题目
5.设 (x)=sin x ,则 ^(2022)(0)=
题目解答
答案
由 $f(x)=\sin x$, 得 $f'(x)=\cos x=\sin (x+\dfrac {\pi }{2})$, $f'(x)=\cos (x+\dfrac {\pi }{2})=\sin (x+\dfrac {2\pi }{2})$, ${f}^{m}(x)=\cos (x+\dfrac {2\pi }{2})=\sin (x+\dfrac {3\pi }{2})$, ${f}^{(4)}(x)=\cos (x+\dfrac {3\pi }{2})=\sin (x+2\pi )=\sin x$. 所以 ${f}^{(n)}(x)=\sin (x+\dfrac {n\pi }{2})$, 所以 ${f}^{(2022)}(x)=\sin (x+\dfrac {2022\pi }{2})=\sin (x+1011\pi )$ $=\sin (x+\pi )=-\sin x$, 所以 ${f}^{(2022)}(0)=0$.
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解析
步骤 1：求导数的周期性
由 $f(x)=\sin x$，我们首先求出其一阶导数 $f'(x)=\cos x$。注意到 $\cos x$ 可以表示为 $\sin(x+\frac{\pi}{2})$。因此，$f'(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$。这表明，每次求导，函数的相位会增加 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：确定导数的周期
继续求导，$f''(x)=-\sin x$，即 $f''(x)=\sin(x+\pi)$。再求导，$f'''(x)=-\cos x$，即 $f'''(x)=\sin(x+\frac{3\pi}{2})$。最后，$f^{(4)}(x)=\sin x$，即 $f^{(4)}(x)=\sin(x+2\pi)$。这表明，每四次求导，函数会回到原函数，即导数具有周期性，周期为4。
步骤 3：计算第2022次导数
由于导数具有周期性，周期为4，我们可以将2022除以4，得到余数。$2022 \mod 4 = 2$。这意味着 ${f}^{(2022)}(x)$ 等于 ${f}^{(2)}(x)$，即 $-\sin x$。
步骤 4：计算 ${f}^{(2022)}(0)$
将 $x=0$ 代入 ${f}^{(2022)}(x)=-\sin x$，得到 ${f}^{(2022)}(0)=-\sin 0=0$。
由 $f(x)=\sin x$，我们首先求出其一阶导数 $f'(x)=\cos x$。注意到 $\cos x$ 可以表示为 $\sin(x+\frac{\pi}{2})$。因此，$f'(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$。这表明，每次求导，函数的相位会增加 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：确定导数的周期
继续求导，$f''(x)=-\sin x$，即 $f''(x)=\sin(x+\pi)$。再求导，$f'''(x)=-\cos x$，即 $f'''(x)=\sin(x+\frac{3\pi}{2})$。最后，$f^{(4)}(x)=\sin x$，即 $f^{(4)}(x)=\sin(x+2\pi)$。这表明，每四次求导，函数会回到原函数，即导数具有周期性，周期为4。
步骤 3：计算第2022次导数
由于导数具有周期性，周期为4，我们可以将2022除以4，得到余数。$2022 \mod 4 = 2$。这意味着 ${f}^{(2022)}(x)$ 等于 ${f}^{(2)}(x)$，即 $-\sin x$。
步骤 4：计算 ${f}^{(2022)}(0)$
将 $x=0$ 代入 ${f}^{(2022)}(x)=-\sin x$，得到 ${f}^{(2022)}(0)=-\sin 0=0$。