题目
3.设过曲线 y=f(x) 上任一点(x,y)处的切线斜率为-|||-dfrac (1)(sqrt {x+1)} 且曲线过点(3,2 ),求此曲线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定导数
根据题意，曲线 y=f(x) 上任一点(x,y)处的切线斜率为 $\dfrac {1}{\sqrt {x+1}}$，即 f'(x) = $\dfrac {1}{\sqrt {x+1}}$。
步骤 2：求原函数
为了找到原函数 f(x)，我们需要对 f'(x) 进行积分。即 $\int f'(x)dx = \int \dfrac {1}{\sqrt {x+1}}dx$。我们可以通过换元法来求解这个积分。设 $u = \sqrt{x+1}$，则 $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}dx$，从而 $dx = 2\sqrt{x+1}du = 2udu$。因此，原积分变为 $\int \dfrac{2udu}{u} = 2\int du = 2u + C = 2\sqrt{x+1} + C$，其中 C 是积分常数。
步骤 3：确定常数 C
由于曲线过点(3,2)，我们可以将这个点的坐标代入原函数中求解常数 C。即 $f(3) = 2\sqrt{3+1} + C = 2$，从而 $4 + C = 2$，解得 $C = -2$。
根据题意，曲线 y=f(x) 上任一点(x,y)处的切线斜率为 $\dfrac {1}{\sqrt {x+1}}$，即 f'(x) = $\dfrac {1}{\sqrt {x+1}}$。
步骤 2：求原函数
为了找到原函数 f(x)，我们需要对 f'(x) 进行积分。即 $\int f'(x)dx = \int \dfrac {1}{\sqrt {x+1}}dx$。我们可以通过换元法来求解这个积分。设 $u = \sqrt{x+1}$，则 $du = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}dx$，从而 $dx = 2\sqrt{x+1}du = 2udu$。因此，原积分变为 $\int \dfrac{2udu}{u} = 2\int du = 2u + C = 2\sqrt{x+1} + C$，其中 C 是积分常数。
步骤 3：确定常数 C
由于曲线过点(3,2)，我们可以将这个点的坐标代入原函数中求解常数 C。即 $f(3) = 2\sqrt{3+1} + C = 2$，从而 $4 + C = 2$，解得 $C = -2$。