整除问题很多问题,实际上都可以用整除的方法求解,整除问题往往与余数问题、分解因数问题有着密切的联系。可以说是对同一问题,不同角度的思考方法。[例1](08河北省第59题)某人有350万元遗产,在临终前,他给怀孕的妻子写下这样的一份遗嘱:如果生下来是个男孩,就把遗产的三分之二给儿子,妻子拿三分之一;如果生下来是个女孩,就把遗产的三分之一给女儿,三分之二给妻子。结果他的妻子生了双胞胎(一男一女),按遗嘱的要求,妻子可以得到多少万元?()A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 E. [例题解析]通过题目可知,妻子拿的遗产是儿子拿的遗产的1/2,是女儿拿的遗产的2倍 F. 假设女儿拿的遗产为x,可得妻子拿的遗产为2x,儿子拿的遗产为4x G. 所以7x=350 即x=50 [例2](2010年江苏省第31题)从1开始,自然数中,第100个不能被3整除的数是() 152 149 142 123 [例题解析]从1开始每三个数都会有一个数能被3整除,即3、6、9…… 也即是说每个能被3整除的数的前两个是不能被3整除的,那么第100个不能被3整除的数,肯定在第50个能被3整除的数前,第50个能被3整除的为150,所以第100个不能被3整除的为149 [例3](2008云南省第6题)1~200这200个自然数中,能被4或能被6整除的数有多少个?( ) 65 66 67 68 [例题解析] 方法一: 1~100中能被4整除的共有50个,能被6整除的共有33个;但是我们要看到,能被12整除的数能同时被4和6整除,也就是说这些数都被我们多算了一次。能被12整除的共有16个,那么能被4或6整除的共有50+33-16=67 方法二: 实际上在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12中,能被4或能被6整除的数有4个,而之后每12个如如此循环一次,共16遍零3个,共计67个。 [例题4]共有12盏灯编号为1、2、3……,其中第2、3、7、11号是亮的,其余是关着的。从2011年5月1日开始每天拉一盏灯的灯绳(依次)。一年后,亮着的电灯有多少盏? 4 6 8 12 [例题解析]一盏灯被开关偶数次后会与原状态相同,一盏灯被开关奇数次后会与原状态相反。由于2012年是闰年,所以,一共将开关366次,366除以12,商是30余6,也就是说前6盏灯将被开关31次,后6盏将被开关30次。前6盏灯将与原来状态相反,后6盏将与原来相同。所以前6盏中1、4、5、6、是亮的,后6盏中7、11是亮的。 [例题5](2006年山东A卷第8题)有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是:( ) A.216 B.108 C.314 D.348 [例题解析]此题的关键在于大家应该注意到,A除以B,商是5余5,就说明A=5B+5,也就是说,A应是5的倍数,同理,A也应该是6、7的倍数,这样A要满足同时能被5、6、7整除,A也应该是5、6、7的最小公倍数210的倍数。而题目A、B、C、D的和不超过400,这样就可求出A、B、C、D分别为210、41、34、29。 [例6](2010年国考第48题)某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位,甲教室每排可坐10人,乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次,每次培训均座无虚席,当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训? A.8 B.10 C.12 D.15 [例题解析] 方法一: 通过题目条件易知,甲教室可容纳5×10=50人,乙教室可容纳5×9=45人,两教室 可容纳人数差值为5人。假设27次培训均在乙教室举行,则培训人数应为45× 27=1215人,与实际培训人数差值为1290-1215=75人,总培训人数的差值除以单次培训 选项。 方法二: 由题目条件,设甲教室使用x次,乙教室使用y次, 列二元一次方程组50x+45y=1290 x+y=27 选项。 方法三: 选项15人满足使乙教室的使用次数为偶,(27-15=12),故应选择D选项。 [例题7]三位采购员定期去某商店,小王每隔9天去一次,大刘每隔11天去一次,老杨每隔7天去一次,三人星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几? 星期一 星期二 星期三 星期四 [例题解析]此题如果不注意审题,很可能误以为求出9、11、7的最小公倍数即可。题目中有一点非常容易被大家忽略,就是三人都是每隔几天再去。隔9天再去,就是10天之后了。所以,应该求10、12、8的最小公倍数,120天除以7余1 [重点提示]考生要区分“几天一见”和“隔几天一见”的区别。 [例题8]已知2012被一些自然数去除,得到的余数都是10。这些自然数共有()个。 9 10 11 12 [例题解析]这道题的关键在能够对余数的定义深入理解。2012被一些自然数去除,余数是10。那么,这些自然数就应该可以被2002整除,且大于10。 2002分解因数为2×7×11×13,那么2002就可以被2、7、11、13、14、22、26、77、91、143整除,其中有11—143,8个数大于10,再加上2002本身,一共是9个自然数满足题意 (1)一般相遇问题 [例题1](2006年北京第20题)红星小学组织学生排队去郊游,每分钟步行60米,队尾的王老师以每分钟150米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用去10分钟.求队伍的长度。 630米 750米 900米 1500米 [例题解析]本题可将王老师与队伍的关系视作先为对队首的追及,后为对队尾的相遇,设队伍长度为x x÷(150-60)+x÷(150+60)=10 解得x=630米 [例题2]甲、乙两辆清洁车,执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需10小时,乙车单独清扫需15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米。问:东、西两城相距多少千米? 45 50 55 60 [例题解析]甲车与乙车的所用时间比为10:15,则速度比为3:2,这样相遇时所用时间是相同的则所走过的距离比是3:2,这样甲比乙多走的应该是全程的,12÷=60千米。故应选择D选项。 [例题3]A、B两城相距60千米,甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发,甲比乙每小时慢4千米,乙到B城当即折返,于距B城12千米处与甲相遇,那么甲的速度是( )千米。 8 10 12 15 [例题解析]甲乙两人在距B处12千米处相遇,则乙比甲多走24千米,甲比乙每小时慢4千米,则说明相遇时已走了24÷4=6小时,甲的速度为(60-12)÷6=8千米/小时。 [例题4](2007年国家考试第53题) A、B两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在A站和B站,甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程,乙火车上午8时整从B站开往A站,开出一段时间后,甲火车从A站出发开往B站,上午9时整两列火车相遇。相遇地点离A、B两站的距离比是15:16,那么,甲火车在( )从A站出发开往B站。 。 [重点提示]利用“减余”的方法,将余数问题化为整数问题。