lim _(xarrow infty )((dfrac {2x+3)(2x+1))}^x+1;

考查要点：本题主要考查无穷极限的计算，特别是形如$\left(1+\frac{a}{bx+c}\right)^{dx+e}$的极限求解方法，需要灵活运用重要极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$及其变形。

解题核心思路：

1. 化简分式：将分子分母的线性式变形为$1+\frac{\text{常数}}{\text{线性式}}$的形式，便于应用重要极限。
2. 调整指数结构：通过变量替换或拆分指数，将原式转化为重要极限的标准形式。
3. 极限化简：结合指数运算的性质，分离并计算各部分的极限。

破题关键点：

• 分子分母变形：将$\frac{2x+3}{2x+1}$改写为$1+\frac{2}{2x+1}$。
• 指数拆分：将$x+1$与分母$2x+1$关联，构造重要极限中的指数形式。

步骤1：化简分式
将分式$\frac{2x+3}{2x+1}$变形为：
$\frac{2x+3}{2x+1} = \frac{(2x+1)+2}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}.$

步骤2：构造重要极限形式
原式变为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2x+1}\right)^{x+1}.$
令$n = 2x+1$，当$x \to \infty$时，$n \to \infty$，且$x = \frac{n-1}{2}$。代入得：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n-1}{2} + 1} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n+1}{2}}.$

步骤3：拆分指数并计算极限
将指数拆分为$\frac{n}{2} + \frac{1}{2}$，则：
$\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} \cdot \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}}.$

• 第一项$\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}$的极限为$e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e$。
• 第二项$\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}}$的极限为$1$。
  因此，整体极限为$e \cdot 1 = e$。