题目
已知圆周 L: x = a cos t, y = a sin t, 取顺时针方向, 则 oint_(L) (x , dy - y , dx)/(x^2 + y^2) 等于:A. 2piB. -2piC. piD. -pi
已知圆周 $L: x = a \cos t, y = a \sin t$, 取顺时针方向, 则 $\oint_{L} \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2}$ 等于:
A. $2\pi$
B. $-2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
题目解答
答案
B. $-2\pi$
解析
步骤 1：参数化圆周
将圆周参数化为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，其中 $t$ 从 $2\pi$ 到 $0$（顺时针方向）。
步骤 2：计算微分
计算微分： \[ dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = a \cos t \, dt. \]
步骤 3：代入积分
代入积分： \[ \oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = \frac{1}{a^2} \int_{2\pi}^{0} \left[ a \cos t \cdot a \cos t \, dt - a \sin t \cdot (-a \sin t \, dt) \right] = \int_{2\pi}^{0} dt = -2\pi. \]
步骤 4：利用格林公式
或者，利用格林公式（注意方向），得积分值为 $-2\pi$。
将圆周参数化为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，其中 $t$ 从 $2\pi$ 到 $0$（顺时针方向）。
步骤 2：计算微分
计算微分： \[ dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = a \cos t \, dt. \]
步骤 3：代入积分
代入积分： \[ \oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} = \frac{1}{a^2} \int_{2\pi}^{0} \left[ a \cos t \cdot a \cos t \, dt - a \sin t \cdot (-a \sin t \, dt) \right] = \int_{2\pi}^{0} dt = -2\pi. \]
步骤 4：利用格林公式
或者，利用格林公式（注意方向），得积分值为 $-2\pi$。