题目

1.22 函数y=10^x-1-2的反函数是（）bigcircy=lg(x+2)+1bigcircy=10^x-1-2bigcircy=lg(x+2)bigcircy=10^x-1

1.22 函数$y=10^{x-1}-2$的反函数是（） $\bigcirc$y=lg(x+2)+1 $\bigcirc$y=10^{x-1}-2 $\bigcirc$y=lg(x+2) $\bigcirc$y=10^{x-1}

题目解答

答案

将函数 $ y = 10^{x-1} - 2 $ 的反函数求出。

  1. 首先，将 $ x $ 用 $ y $ 表示：
    $y = 10^{x-1} - 2 \implies y + 2 = 10^{x-1}$
  2. 对两边取常用对数（以10为底）：
    $\lg(y + 2) = \lg(10^{x-1}) = x - 1$
  3. 解得：
    $x = \lg(y + 2) + 1$
  4. 交换 $ x $ 和 $ y $，得到反函数：
    $y = \lg(x + 2) + 1$

答案： $ y = \lg(x + 2) + 1 $

$\boxed{y = \lg(x + 2) + 1}$

解析

本题考查反函数的求解。解题思路是先从原函数中解出$x$关于$y$的表达式，然后将$x$与$y$互换，即可得到原函数的反函数。

  1. 首先，对于原函数$y = 10^{x - 1} - 2$，我们要将$x$用$y$表示。
    • 为了得到$x$的表达式，我们先对原方程进行移项，把常数项$-2$移到等号右边，得到$y + 2 = 10^{x - 1}$。
  2. 然后，对等式两边取常用对数（以$10$为底）。
    • 根据对数的性质$\log_{a}(a^{b})=b$（这里$a = 10$），对$y + 2 = 10^{x - 1}$两边取常用对数可得$\lg(y + 2)=\lg(10^{x - 1})$，即$\lg(y + 2)=x - 1$。
  3. 接着，解出$x$。
    • 对$\lg(y + 2)=x - 1$进行移项，把$-1$移到等号左边，得到$x=\lg(y + 2)+1$。
  4. 最后，交换$x$和$y$。
    • 把$x$和$y$互换后，就得到原函数的反函数为$y=\lg(x + 2)+1$。