某双原子理想气体1mol，从始态350 mathrm(K)，200 mathrm(kPa)经如下四个过程达到各自平衡态，求各过程的体积功：(1) 恒温可逆膨胀至50 mathrm(kPa)；(2) 恒温反抗恒外压50 mathrm(kPa)不可逆膨胀至平衡态；(3) 向真空中自由膨胀至50 mathrm(kPa)；(4) 绝热可逆膨胀至50 mathrm(kPa)。(5) 绝热反抗50 mathrm(kPa)恒外压不可逆膨胀

本题主要考察理想气体在不同过程中的体积功计算，涉及到恒温可逆膨胀、恒温不可逆膨胀、自由膨胀、绝热可逆膨胀和绝热不可逆膨胀等过程，需要运用理想气体状态方程、热力学第一定律以及不同过程的特点来进行计算。

(1) 恒温可逆膨胀至$50\ \mathrm{kPa}$

• 解题思路：对于恒温可逆过程，理想气体的体积功计算公式为$W = -nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$，根据理想气体状态方程$p_1V_1 = p_2V_2$（恒温条件下），可得$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2}$，将其代入体积功公式即可计算。
• 解析：
  已知$n = 1\ \mathrm{mol}$，$T = 350\ \mathrm{K}$，$p_1 = 200\ \mathrm{kPa}$，$p_2 = 50\ \mathrm{kPa}$，$R = 8.314\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}$。
  将$\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{200}{50} = 4$代入体积功公式$W = -nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$，可得：
  $\begin{align*}W &= -nRT \ln \frac{p_1}{p_2}\\&= -1\times8.314\times350\times\ln 4\\&\approx -4034\ \mathrm{J}\\&= -4.034\ \mathrm{kJ}\end{align*}$

(2) 恒温反抗恒外压$50\ \mathrm{kPa}$不可逆膨胀至平衡态

• 解题思路：对于恒温不可逆过程，体积功计算公式为$W = -p_{外}(V_2 - V_1)$，先根据理想气体状态方程求出$V_1$和$V_2$，再代入公式计算。
• 解析：
  根据理想气体状态方程$pV = nRT$，可得$V_1 = \frac{nRT}{p_1} = \frac{1\times8.314\times350}{200\times10^3} = 0.01455\ \mathrm{m}^3$，$V_2 = \frac{nRT}{p_2} = \frac{1\times8.314\times350}{50\times10^3} = 0.0582\ \mathrm{m}^3$。
  已知$p_{外} = 50\ \mathrm{kPa} = 50\times10^3\ \mathrm{Pa}$，则体积功为：
  $\begin{align*}W &= -p_{外}(V_2 - V_1)\\&= -50\times10^3\times(0.0582 - 0.01455)\\&= -2182.5\ \mathrm{J}\\&= -2.183\ \mathrm{kJ}\end{align*}$
  也可将$V_1 = \frac{nRT}{p_1}$，$V_2 = \frac{nRT}{p_2}$代入$W = -p_{外}(V_2 - V_1)$，并令$p_{外} = p_2$，化简可得$W = -nRT \left( 1 - \frac{p_2}{p_1} \right)$，代入数据计算：
  $\begin{align*}W &= -nRT \left( 1 - \frac{p_2}{p_1} \right)\\&= -1\times8.314\times350\times(1 - \frac{50}{200})\\&= -2183.25\ \mathrm{J}\\&= -2.183\ \mathrm{kJ}\end{align*}$

(3) 向真空中自由膨胀至$50\ \mathrm{kPa}$

• 解题思路：自由膨胀过程中，外压$p_{外} = 0$，根据体积功公式$W = -p_{外}(V_2 - V_1)$，可得体积功为$0$。
• 解析：
  因为$p_{外} = 0$，所以$W = -p_{外}(V_2 - V_1) = 0$。

(4) 绝热可逆膨胀至$50\ \mathrm{kPa}$

• 解题思路：对于绝热可逆过程，理想气体有$p_1^{1 - \gamma}T_1^{\gamma} = p_2^{1 - \gamma}T_2^{\gamma}$，其中$\gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}$，对于双原子理想气体，$C_{V,m} = \frac{5}{2}R$，$C_{p,m} = C_{V,m} + R = \frac{7}{2}R$，则$\gamma = \frac{7}{5}$。先根据该公式求出终态温度$T_2$，再根据绝热过程$Q = 0$，由热力学第一定律$\Delta U = Q + W$可得$W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$计算体积功。
• 解析：
  由$p_1^{1 - \gamma}T_1^{\gamma} = p_2^{1 - \gamma}T_2^{\gamma}$可得：
  $\begin{align*}T_2 &= T_1 \left( \frac{p_1}{p_2} \right)^{\frac{1 - \gamma}{\gamma}}\\&= 350\times \left( \frac{200}{50} \right)^{\frac{1 - \frac{7}{5}}{\frac{7}{5}}}\\&= 350\times (4)^{-\frac{2}{7}}\\&\approx 234.5\ \mathrm{K}\end{align*}$
  已知$n = 1\ \mathrm{mol}$，$C_{V,m} = \frac{5}{2}R$，则体积功为：
  $\begin{align*}W &= \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)\\&= 1\times\frac{5}{2}\times8.314\times(234.5 - 350)\\&\approx -2400\ \mathrm{J}\\&= -2.40\ \mathrm{kJ}\end{align*}$

(5) 绝热反抗$50\ \mathrm{kPa}$恒外压不可逆膨胀

• 解题思路：绝热不可逆过程$Q = 0$，由热力学第一定律$\Delta U = Q + W$可得$W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$，同时根据过程的特点列出方程$p_{外}(V_2 - V_1) = nC_{V,m}(T_1 - T_2)$，再结合理想气体状态方程$p_1V_1 = nRT_1$，$p_2V_2 = nRT_2$，联立求解出$T_2$，进而计算体积功。
• 解析：
  由$p_{外}(V_2 - V_1) = nC_{V,m}(T_1 - T_2)$，$p_1V_1 = nRT_1$，$p_2V_2 = nRT_2$可得：
  $\begin{align*}p_{外}(\frac{nRT_2}{p_2} - \frac{nRT_1}{p_1}) &= nC_{V,m}(T_1 - T_2)\\p_{外}(\frac{T_2}{p_2} - \frac{T_1}{p_1}) &= C_{V,m}(T_1 - T_2)\end{align*}$
  将$p_1 = 200\ \mathrm{kPa}$，$p_2 = 50\ \mathrm{kPa}$，$p_{外} = 50\ \mathrm{kPa}$，$C_{V,m} = \frac{5}{2}R$，$T_1 = 350\ \mathrm{K}$代入上式：
  $\begin{align*}50\times10^3\times(\frac{T_2}{50\times10^3} - \frac{350}{200\times10^3}) &= \frac{5}{2}\times8.314\times(350 - T_2)\\T_2 - 87.5 &= \frac{5}{2}\times8.314\times(350 - T_2)\\T_2 - 87.5 &= 7.095\times(350 - T_2)\\T_2 - 87.5 &= 2483.25 - 7.095T_2\\8.095T_2 &= 2570.75\\T_2 &= 275\ \mathrm{K}\end{align*}$
  则体积功为：
  $\begin{align*}W &= \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)\\&= 1\times\frac{5}{2}\times8.314\times(275 - 350)\\&= -1558.875\ \mathrm{J}\\&= -1.559\ \mathrm{kJ}\end{align*}$