当k为何值时,反常积分(int )_(2)^+infty dfrac (dx)(x{(ln x))^k}收敛?当k为何值时,这反常积分发散?又当k为何值时,这反常积分取得最小值?

步骤 1：计算反常积分
首先，我们计算反常积分${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {dx}{x{(\ln x)}^{k}}$。通过换元法，设$u=\ln x$，则$du=\dfrac{1}{x}dx$。因此，原积分可以写为${\int }_{\ln 2}^{+\infty }\dfrac {du}{{u}^{k}}$。

步骤 2：分析积分的收敛性
积分${\int }_{\ln 2}^{+\infty }\dfrac {du}{{u}^{k}}$的收敛性取决于$k$的值。当$k>1$时，积分收敛；当$k\leqslant 1$时，积分发散。这是因为当$k>1$时，${u}^{-(k-1)}$在$u\to +\infty$时趋于0，积分收敛；当$k\leqslant 1$时，${u}^{-(k-1)}$在$u\to +\infty$时趋于无穷大，积分发散。

步骤 3：求反常积分的值
当$k>1$时，积分${\int }_{\ln 2}^{+\infty }\dfrac {du}{{u}^{k}}$的值为${\int }_{\ln 2}^{+\infty }{u}^{-k}du=\left[-\dfrac{1}{(k-1){u}^{k-1}}\right]_{\ln 2}^{+\infty}=\dfrac{1}{(k-1){(\ln 2)}^{k-1}}$。

步骤 4：求反常积分的最小值
为了求反常积分的最小值，我们需要对$f(k)=\dfrac{1}{(k-1){(\ln 2)}^{k-1}}$求导。$f'(k)=-\dfrac{1+(k-1)\ln \ln 2}{{(k-1)}^{2}{(\ln 2)}^{k-1}}$。令$f'(k)=0$，解得$k=1-\dfrac{1}{\ln \ln 2}$。当$11-\dfrac{1}{\ln \ln 2}$时，$f'(k)>0$。因此，$k=1-\dfrac{1}{\ln \ln 2}$为函数$f(k)$的最小值点，即当$k=1-\dfrac{1}{\ln \ln 2}$时，所给反常积分取得最小值。