题目
幂级数 sum_(n=1)^infty ((x-5)^n)/(sqrt(n)) 的收敛区间为____.A. (4, 6)B. (3, 7)C. (-1, 1)D. (-infty, +infty)
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}$ 的收敛区间为____.
A. (4, 6)
B. (3, 7)
C. (-1, 1)
D. $(-\infty, +\infty)$
题目解答
答案
A. (4, 6)
解析
步骤 1：应用比值测试
为了确定幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$的收敛区间，我们使用比值测试。比值测试指出，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么如果$L < 1$，级数收敛；如果$L > 1$，级数发散；如果$L = 1$，测试不决。 对于给定的级数，$a_n = \frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}$。因此，$a_{n+1} = \frac{(x-5)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}$。应用比值测试，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-5)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| (x-5) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \right| = |x-5| \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = |x-5| \] 由于$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = 1$，比值测试告诉我们，如果$|x-5| < 1$，级数收敛；如果$|x-5| > 1$，级数发散。因此，级数在$4 < x < 6$时收敛。
步骤 2：检查端点
接下来，我们需要检查端点$x = 4$和$x = 6$，以确定它们是否包含在收敛区间内。
1. 对于$x = 4$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4-5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是一个交错级数，其中项$\frac{1}{\sqrt{n}}$单调递减且趋于零。根据交错级数测试，这个级数收敛。
2. 对于$x = 6$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(6-5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$。这是一个$p$-级数，其中$p = \frac{1}{2}$。由于$p \leq 1$，这个级数发散。
步骤 3：确定收敛区间
根据上述分析，幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$的收敛区间为$[4, 6)$。然而，由于问题要求从给定选项中选择，最接近的匹配是区间$(4, 6)$，不包括端点4，但根据我们的分析，它应该被包括在内。但是，根据提供的选项，正确答案是：
为了确定幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$的收敛区间，我们使用比值测试。比值测试指出，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么如果$L < 1$，级数收敛；如果$L > 1$，级数发散；如果$L = 1$，测试不决。 对于给定的级数，$a_n = \frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}$。因此，$a_{n+1} = \frac{(x-5)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}$。应用比值测试，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-5)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{(x-5)^n}{\sqrt{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| (x-5) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \right| = |x-5| \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = |x-5| \] 由于$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = 1$，比值测试告诉我们，如果$|x-5| < 1$，级数收敛；如果$|x-5| > 1$，级数发散。因此，级数在$4 < x < 6$时收敛。
步骤 2：检查端点
接下来，我们需要检查端点$x = 4$和$x = 6$，以确定它们是否包含在收敛区间内。
1. 对于$x = 4$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4-5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是一个交错级数，其中项$\frac{1}{\sqrt{n}}$单调递减且趋于零。根据交错级数测试，这个级数收敛。
2. 对于$x = 6$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(6-5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$。这是一个$p$-级数，其中$p = \frac{1}{2}$。由于$p \leq 1$，这个级数发散。
步骤 3：确定收敛区间
根据上述分析，幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$的收敛区间为$[4, 6)$。然而，由于问题要求从给定选项中选择，最接近的匹配是区间$(4, 6)$，不包括端点4，但根据我们的分析，它应该被包括在内。但是，根据提供的选项，正确答案是：