题目
2.计算下列不定积分：(9)int dfrac (x{e)^arctan x}({(1+{x)^2)}^dfrac (3{2)}}dx.
2.计算下列不定积分：
(9)
.
题目解答
答案
解：因为
故答案为：
.
解析
步骤 1：换元法
设 $u = \arctan x$，则 $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$，且 $x = \tan u$。
步骤 2：代入换元
将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{x e^u}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \int \dfrac{\tan u e^u}{(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}}} \cdot (1+\tan^2 u)du$。
步骤 3：化简
由于 $1+\tan^2 u = \sec^2 u$，则原积分化简为 $\int \dfrac{\tan u e^u}{\sec^3 u} \cdot \sec^2 u du = \int \dfrac{\tan u e^u}{\sec u} du = \int \sin u e^u du$。
步骤 4：分部积分
设 $v = e^u$，$dw = \sin u du$，则 $dv = e^u du$，$w = -\cos u$。
步骤 5：应用分部积分公式
$\int \sin u e^u du = -\cos u e^u - \int -\cos u e^u du = -\cos u e^u + \int \cos u e^u du$。
步骤 6：再次应用分部积分
设 $v = e^u$，$dw = \cos u du$，则 $dv = e^u du$，$w = \sin u$。
步骤 7：应用分部积分公式
$\int \cos u e^u du = \sin u e^u - \int \sin u e^u du$。
步骤 8：合并结果
将步骤 5 和步骤 7 的结果合并，得到 $2\int \sin u e^u du = -\cos u e^u + \sin u e^u$。
步骤 9：求解
$\int \sin u e^u du = \dfrac{1}{2}(-\cos u e^u + \sin u e^u) + C$。
步骤 10：回代
将 $u = \arctan x$ 回代，得到 $\int \dfrac{x e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \dfrac{1}{2}(-\cos(\arctan x) e^{\arctan x} + \sin(\arctan x) e^{\arctan x}) + C$。
步骤 11：化简
由于 $\cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，$\sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则原积分化简为 $\dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} e^{\arctan x} + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} e^{\arctan x}) + C$。
设 $u = \arctan x$，则 $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$，且 $x = \tan u$。
步骤 2：代入换元
将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{x e^u}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \int \dfrac{\tan u e^u}{(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}}} \cdot (1+\tan^2 u)du$。
步骤 3：化简
由于 $1+\tan^2 u = \sec^2 u$，则原积分化简为 $\int \dfrac{\tan u e^u}{\sec^3 u} \cdot \sec^2 u du = \int \dfrac{\tan u e^u}{\sec u} du = \int \sin u e^u du$。
步骤 4：分部积分
设 $v = e^u$，$dw = \sin u du$，则 $dv = e^u du$，$w = -\cos u$。
步骤 5：应用分部积分公式
$\int \sin u e^u du = -\cos u e^u - \int -\cos u e^u du = -\cos u e^u + \int \cos u e^u du$。
步骤 6：再次应用分部积分
设 $v = e^u$，$dw = \cos u du$，则 $dv = e^u du$，$w = \sin u$。
步骤 7：应用分部积分公式
$\int \cos u e^u du = \sin u e^u - \int \sin u e^u du$。
步骤 8：合并结果
将步骤 5 和步骤 7 的结果合并，得到 $2\int \sin u e^u du = -\cos u e^u + \sin u e^u$。
步骤 9：求解
$\int \sin u e^u du = \dfrac{1}{2}(-\cos u e^u + \sin u e^u) + C$。
步骤 10：回代
将 $u = \arctan x$ 回代，得到 $\int \dfrac{x e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \dfrac{1}{2}(-\cos(\arctan x) e^{\arctan x} + \sin(\arctan x) e^{\arctan x}) + C$。
步骤 11：化简
由于 $\cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，$\sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则原积分化简为 $\dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} e^{\arctan x} + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} e^{\arctan x}) + C$。