题目

u=(x)/(y)的相对平均误差是()。 A pm((|Delta x|+|Delta y|)/(x+y)) B pm(|(Delta x)/(x)|-|(Delta y)/(y)|) C pm(|(Delta x)/(x)|+|(Delta y)/(y)|) D pm((|Delta x|-|Delta y|)/(x+y))

$u=\frac{x}{y}$的相对平均误差是()。

A $\pm\left(\frac{|\Delta x|+|\Delta y|}{x+y}\right)$

B $\pm\left(\left|\frac{\Delta x}{x}\right|-\left|\frac{\Delta y}{y}\right|\right)$

C $\pm\left(\left|\frac{\Delta x}{x}\right|+\left|\frac{\Delta y}{y}\right|\right)$

D $\pm\left(\frac{|\Delta x|-|\Delta y|}{x+y}\right)$

题目解答

答案

题目要求我们求解 $u = \frac{z}{y}$ 的相对平均误差。首先，我们需要明确相对误差的定义。相对误差是指绝对误差与真实值的比值，通常表示为百分比或小数形式。 ### 分析给定 $u = \frac{z}{y}$，假设 $z$ 和 $y$ 的测量值分别为 $z + \Delta z$ 和 $y + \Delta y$，其中 $\Delta z$ 和 $\Delta y$ 分别是 $z$ 和 $y$ 的绝对误差。 1. **计算 $u$ 的绝对误差**： \[ u = \frac{z}{y} \] \[ u + \Delta u = \frac{z + \Delta z}{y + \Delta y} \] 为了求 $\Delta u$，我们可以使用微分近似： \[ \Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial z} \Delta z + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y \] 其中： \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{z}{y^2} \] 因此： \[ \Delta u \approx \frac{1}{y} \Delta z - \frac{z}{y^2} \Delta y \] 2. **计算 $u$ 的相对误差**：相对误差定义为绝对误差与真实值的比值： \[ \frac{\Delta u}{u} \approx \frac{\frac{1}{y} \Delta z - \frac{z}{y^2} \Delta y}{\frac{z}{y}} = \frac{\Delta z}{z} - \frac{\Delta y}{y} \] 3. **考虑绝对值**：通常在误差分析中，我们取绝对值来表示误差的大小： \[ \left| \frac{\Delta u}{u} \right| \approx \left| \frac{\Delta z}{z} \right| + \left| \frac{\Delta y}{y} \right| \] ### 选项分析根据上述分析，$u = \frac{z}{y}$ 的相对误差可以表示为： \[ \left| \frac{\Delta u}{u} \right| \approx \left| \frac{\Delta z}{z} \right| + \left| \frac{\Delta y}{y} \right| \] 题目中给出的选项中，$z$ 被记作 $x$，因此我们可以将 $z$ 替换为 $x$，$y$ 保持不变。因此，相对误差可以表示为： \[ \left| \frac{\Delta u}{u} \right| \approx \left| \frac{\Delta x}{x} \right| + \left| \frac{\Delta y}{y} \right| \] ### 最终答案根据上述分析，正确答案是： \[ \boxed{C} \]

解析

考查要点：本题主要考查相对误差的传播规律，涉及两个变量相除的函数形式下的误差计算。

解题核心思路：

相对误差定义：相对误差是绝对误差与真实值的比值，通常取绝对值表示误差大小。
误差传播公式：对于函数 $u = \frac{x}{y}$，其相对误差由 $x$ 和 $y$ 的相对误差绝对值相加得到。
关键结论：误差传播中，若误差项符号相反，绝对值会叠加，因此最终相对平均误差为 $\left|\frac{\Delta x}{x}\right| + \left|\frac{\Delta y}{y}\right|$。

步骤1：计算绝对误差

函数 $u = \frac{x}{y}$ 的绝对误差 $\Delta u$ 可通过微分近似求得：
$\Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y = \frac{1}{y} \Delta x - \frac{x}{y^2} \Delta y.$

步骤2：计算相对误差

相对误差为绝对误差与真实值的比值：
$\frac{\Delta u}{u} = \frac{\frac{1}{y} \Delta x - \frac{x}{y^2} \Delta y}{\frac{x}{y}} = \frac{\Delta x}{x} - \frac{\Delta y}{y}.$

步骤3：取绝对值

考虑最坏情况（误差符号相反），相对误差的绝对值为：
$\left| \frac{\Delta u}{u} \right| \approx \left| \frac{\Delta x}{x} \right| + \left| \frac{\Delta y}{y} \right|.$

选项分析

选项C $\pm\left(\left|\frac{\Delta x}{x}\right|+\left|\frac{\Delta y}{y}\right|\right)$ 符合推导结果。