题目

(6) int_((1)/(sqrt(2)))^1(sqrt(1-x^2))/(x^2)dx;

(6) $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}dx;$

题目解答

答案

令 $x = \sin t$，则 $t \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$，$dx = \cos t \, dt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。代入原积分得： \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2 t \, dt. \] 利用恒等式 $\cot^2 t = \csc^2 t - 1$，得： \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 t - 1) \, dt = \left[ -\cot t - t \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( 0 - \frac{\pi}{2} \right) - \left( -1 - \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \frac{\pi}{4}. \] **答案：** $\boxed{1 - \frac{\pi}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过三角换元法处理含有$\sqrt{1-x^2}$的积分，以及利用三角恒等式简化被积函数。

解题核心思路：

三角换元：观察到被积函数中的$\sqrt{1-x^2}$，选择$x = \sin t$进行换元，将根号部分转化为$\cos t$，简化积分形式。
积分变换：将原积分转化为关于$t$的积分，利用三角恒等式$\cot^2 t = \csc^2 t - 1$，将被积函数转化为易积分的形式。
分部积分：分别计算$\csc^2 t$和常数项的积分，代入上下限后求差得到最终结果。

破题关键点：

换元选择：正确选择$x = \sin t$，并准确转换积分上下限。
恒等式应用：利用$\cot^2 t = \csc^2 t - 1$简化积分。
积分结果代入：注意上下限代入时的符号和计算准确性。

步骤1：三角换元
令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。
当$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$时，$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$；
当$x = 1$时，$\sin t = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}$。
原积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \cdot \cos t \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2 t \, dt.$

步骤2：利用三角恒等式简化
由$\cot^2 t = \csc^2 t - 1$，积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 t - 1) \, dt.$

步骤3：分项积分
分别计算两部分积分：

$\int \csc^2 t \, dt = -\cot t + C$；
$\int 1 \, dt = t + C$。

因此，原积分结果为：
$\left[ -\cot t - t \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}.$

步骤4：代入上下限

当$t = \frac{\pi}{2}$时，$\cot \frac{\pi}{2} = 0$，故表达式为$0 - \frac{\pi}{2}$；
当$t = \frac{\pi}{4}$时，$\cot \frac{\pi}{4} = 1$，故表达式为$-1 - \frac{\pi}{4}$。

最终结果为：
$\left( 0 - \frac{\pi}{2} \right) - \left( -1 - \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \frac{\pi}{4}.$