题目
2.将函数 (varepsilon )=dfrac (1)((z+i){z)^2} 在区域 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b743fd7bcf058f01cb0190cf146ec73f.jpglt |z+i|lt +infty 内展开成洛朗级数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定展开区域
题目要求在区域 $1 < |z + i| < +\infty$ 内展开函数 $f(z) = \dfrac{1}{(z+i)z^2}$。这意味着我们需要在 $z = -i$ 的邻域内展开函数，且 $|z + i| > 1$。
步骤 2：将函数分解
将函数 $f(z)$ 分解为两个部分，以便于在指定区域内展开。我们有：
$$f(z) = \dfrac{1}{(z+i)z^2} = \dfrac{1}{z^2} \cdot \dfrac{1}{z+i}$$
步骤 3：展开 $\dfrac{1}{z+i}$
在 $|z + i| > 1$ 的区域内，我们可以将 $\dfrac{1}{z+i}$ 展开为洛朗级数。首先，我们注意到：
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z+i} \cdot \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)}$$
由于 $|z + i| > 1$，则 $|\dfrac{i}{z+i}| < 1$，因此可以使用几何级数展开：
$$\dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)^n$$
因此，我们有：
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z+i} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{(z+i)^{n+1}}$$
步骤 4：将展开式代入原函数
将步骤 3 中的展开式代入原函数 $f(z)$，我们得到：
$$f(z) = \dfrac{1}{z^2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{(z+i)^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{z^2(z+i)^{n+1}}$$
题目要求在区域 $1 < |z + i| < +\infty$ 内展开函数 $f(z) = \dfrac{1}{(z+i)z^2}$。这意味着我们需要在 $z = -i$ 的邻域内展开函数，且 $|z + i| > 1$。
步骤 2：将函数分解
将函数 $f(z)$ 分解为两个部分，以便于在指定区域内展开。我们有：
$$f(z) = \dfrac{1}{(z+i)z^2} = \dfrac{1}{z^2} \cdot \dfrac{1}{z+i}$$
步骤 3：展开 $\dfrac{1}{z+i}$
在 $|z + i| > 1$ 的区域内，我们可以将 $\dfrac{1}{z+i}$ 展开为洛朗级数。首先，我们注意到：
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z+i} \cdot \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)}$$
由于 $|z + i| > 1$，则 $|\dfrac{i}{z+i}| < 1$，因此可以使用几何级数展开：
$$\dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)^n$$
因此，我们有：
$$\dfrac{1}{z+i} = \dfrac{1}{z+i} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{i}{z+i}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{(z+i)^{n+1}}$$
步骤 4：将展开式代入原函数
将步骤 3 中的展开式代入原函数 $f(z)$，我们得到：
$$f(z) = \dfrac{1}{z^2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{(z+i)^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-i)^n}{z^2(z+i)^{n+1}}$$