题目

[例1] (2004) lim _(x arrow 0)((1)/(sin ^2) x-(cos ^2 x)/(x^2))=__.

[例1] (2004) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)=\_\_. $

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{x^2}\right)$，我们首先将表达式重写为一个分式。找到一个共同的分母，我们得到： \[ \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{x^2} = \frac{x^2 - \cos^2 x \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \] 接下来，我们使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式。对于小的 $x$，我们有： \[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] 首先，我们近似 $\sin^2 x$： \[ \sin^2 x \approx \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6) \] 接下来，我们近似 $\cos^2 x$： \[ \cos^2 x \approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2 = 1 - x^2 + \frac{x^4}{4} + O(x^6) \] 现在，我们将这些近似值代入分子 $x^2 - \cos^2 x \sin^2 x$： \[ x^2 - \cos^2 x \sin^2 x \approx x^2 - \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{4}\right)\left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) \] 展开右边的乘积： \[ \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{4}\right)\left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) \approx x^2 - \frac{x^4}{3} - x^4 + \frac{x^6}{3} + \frac{x^6}{4} - \frac{x^8}{12} \approx x^2 - \frac{4x^4}{3} + O(x^6) \] 因此，分子变为： \[ x^2 - \left(x^2 - \frac{4x^4}{3} + O(x^6)\right) = \frac{4x^4}{3} + O(x^6) \] 现在，我们近似分母 $x^2 \sin^2 x$： \[ x^2 \sin^2 x \approx x^2 \left(x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)\right) = x^4 - \frac{x^6}{3} + O(x^8) \approx x^4 + O(x^6) \] 因此，原始表达式近似为： \[ \frac{x^2 - \cos^2 x \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \approx \frac{\frac{4x^4}{3} + O(x^6)}{x^4 + O(x^6)} \approx \frac{4x^4}{3x^4} = \frac{4}{3} \] 所以，极限是： \[ \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{x^2}\right) = \boxed{\frac{4}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开求解极限的能力，以及处理复杂分式极限的技巧。

解题核心思路：
将原式合并为一个分式后，对分子和分母中的$\sin x$和$\cos x$进行泰勒展开，保留到足够阶数的项，从而消去高阶无穷小，得到主部项的比值。

破题关键点：

  1. 合并分式：找到共同分母$x^2 \sin^2 x$，将原式转化为单一分式。
  2. 泰勒展开：对$\sin x$和$\cos x$展开到$x^4$阶，确保分子和分母的主部项被准确保留。
  3. 化简主部：通过展开后的表达式，提取分子和分母的最高阶项，计算极限值。

将原式合并为分式形式：
$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{x^2} = \frac{x^2 - \cos^2 x \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$

泰勒展开：

  1. $\sin x$展开到$x^3$阶：
    $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
    平方后得：
    $\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

  2. $\cos x$展开到$x^4$阶：
    $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
    平方后得：
    $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

计算分子：
$\begin{aligned}x^2 - \cos^2 x \sin^2 x &\approx x^2 - \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{3}\right)\left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) \\&= x^2 - \left(x^2 - \frac{4x^4}{3} + O(x^6)\right) \\&= \frac{4x^4}{3} + O(x^6)\end{aligned}$

计算分母：
$x^2 \sin^2 x \approx x^2 \left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) = x^4 - \frac{x^6}{3} + O(x^8) \approx x^4 + O(x^6)$

化简分式：
$\frac{\frac{4x^4}{3} + O(x^6)}{x^4 + O(x^6)} \approx \frac{4}{3}$