如图4-9所示,盘面与均匀磁场B成φ角的带电圆盘,半径为R,电量Q均匀分布在表面上,当圆盘以角速度w绕通过圆盘中心与盘面垂直的轴线转动,求圆盘在磁场中所受的磁力矩。答案:M=-QR2Bcosφp解:圆盘的电荷面密度为=取距圆盘中心r处,宽度为dr的圆环,则此圆环上的电量为dq xdr

考查要点：本题主要考查带电圆盘在磁场中受力的计算，涉及转动电荷产生电流、磁矩的积分以及磁力矩的公式应用。

解题核心思路：

1. 转动电荷等效为电流：圆盘转动时，电荷的运动形成环形电流，需计算各圆环的电流。
2. 磁矩的积分计算：将圆盘分割为无数圆环，分别计算每个圆环的磁矩，再积分得到总磁矩。
3. 磁力矩公式：总磁矩与磁场的矢量积即为磁力矩，需注意角度关系。

破题关键点：

• 电荷面密度：均匀分布的总电量转化为面密度。
• 圆环电流表达式：转动角速度与电流的关系。
• 磁矩与磁力矩的公式：正确处理角度关系，特别是磁矩方向与磁场方向的夹角。

1. 电荷面密度计算

圆盘总电量为$Q$，面积为$\pi R^2$，故面密度为：
$\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$

2. 圆环电流的计算

取半径为$r$、宽度为$dr$的圆环，其电量为：
$dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr = \frac{Q}{\pi R^2} \cdot 2\pi r \, dr = \frac{2Qr}{R^2} \, dr$
圆盘以角速度$\omega$转动，圆环的等效电流为：
$dI = \frac{\omega}{2\pi} \cdot dq = \frac{\omega}{2\pi} \cdot \frac{2Qr}{R^2} \, dr = \frac{Q\omega r}{R^2} \, dr$

3. 单个圆环的磁矩

圆环面积为$S = \pi r^2$，对应磁矩为：
$d\mu = S \cdot dI = \pi r^2 \cdot \frac{Q\omega r}{R^2} \, dr = \frac{Q\omega \pi r^3}{R^2} \, dr$

4. 总磁矩的积分

对所有圆环积分，总磁矩为：
$\mu = \int_0^R d\mu = \int_0^R \frac{Q\omega \pi r^3}{R^2} \, dr = \frac{Q\omega \pi}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{Q\omega R^2}{4}$

5. 磁力矩的计算

磁力矩公式为：
$M = \mu B \sin\theta$
其中$\theta$为磁矩方向（盘面法线方向）与磁场方向的夹角。题目中盘面与磁场成$\varphi$角，故$\theta = \frac{\pi}{2} - \varphi$，代入得：
$M = \frac{Q\omega R^2}{4} \cdot B \cdot \cos\varphi$