设函数f(x)在区间 (-8,8) 内有定义,若当 in (-8,8) 时,设函数f(x)在区间 (-8,8) 内有定义,若当 in (-8,8) 时,

考查要点：本题主要考查函数在某点的连续性和可导性，以及利用不等式条件推导导数的存在性。

解题核心思路：

1. 连续性：通过不等式条件确定$f(0)=0$，并结合夹逼定理证明$f(x)$在$x=0$处连续。
2. 可导性：利用导数定义式，结合不等式条件推导$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$的存在性，进而确定$f'(0)$的值。

破题关键点：

• 关键结论：当$|f(x)| \leq x^2$时，$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq |x|$，从而$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。
• 反例验证：通过构造满足条件的具体函数（如$f(x)=x^3$或$f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}$），验证选项的正确性。

连续性分析

1. 确定$f(0)$的值：
   当$x=0$时，$|f(0)| \leq 0^2 = 0$，因此$f(0) = 0$。

2. 验证连续性：
   对任意$x \in (-8,8)$，有：
   $|f(x) - f(0)| = |f(x)| \leq x^2.$
   当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，由夹逼定理得：
   $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0),$
   故$f(x)$在$x=0$处连续，排除选项(A)。

可导性分析

1. 导数定义式：
   根据导数定义：
   $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$

2. 估计极限值：
   由$|f(x)| \leq x^2$得：
   $\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq \frac{x^2}{|x|} = |x|.$
   当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，由夹逼定理得：
   $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0,$
   因此$f'(0) = 0$，排除选项(B)和(D)，选(C)。

反例验证

取$f(x) = x^3$，满足$|f(x)| = x^3 \leq x^2$（当$|x| \leq 1$时成立，题目区间$(-8,8)$包含该范围）。此时$f'(0) = 0$，说明选项(C)正确。