2.齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A=(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4),alpha_(5))经初等行变换化为下面的阶形矩阵A=(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4),alpha_(5))arrow}2&-2&6&6&-20&3&-2&2&20&0&0&5&30&0&0&0&0,则（ ）.(A）alpha_(1)不能由alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性表示(B）alpha_(2)不能由alpha_(3),alpha_(4),alpha_(5)线性表示(C）alpha_(3)不能由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(4)线性表示(D）alpha_(4)不能由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性表示
题目解答
答案
将系数矩阵 $ A $ 经初等行变换化为阶梯形矩阵：
$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -2 & 6 & 6 & -2 \\ 0 & 3 & -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
观察矩阵，秩 $ r(A) = 3 $，且主元列分别为第1、2、4列。
选项分析：
-
(A) $\alpha_1$ 不能由 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表示：
由矩阵可知，$\alpha_1$ 对应第1列，可由 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 表示，因为 $ r(\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3 $。故(A)错误。 -
(B) $\alpha_2$ 不能由 $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 线性表示：
$\alpha_2$ 对应第2列，可由 $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 表示，因为 $ r(\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = r(\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) = 3 $。故(B)错误。 -
(C) $\alpha_3$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性表示：
$\alpha_3$ 对应第3列，可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 表示，因为 $ r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3 $。故(C)错误。 -
(D) $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示：
$\alpha_4$ 对应第4列，$ r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 2 $，而 $ r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3 $。由于 $ r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \neq r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) $，$\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示。故(D)正确。
结论：
选项(D)正确。
答案：D