1.3 求方程 ^3+8=0 的所有根。

考查要点：本题主要考查复数方程的解法，特别是利用因式分解法和复数三角形式求解三次方程的根。

解题核心思路：

1. 因式分解法：将方程 $z^3 + 8 = 0$ 转化为 $z^3 = -8$，利用立方和公式分解因式，得到线性因式和二次因式，分别求解。
2. 复数三角形式：将 $-8$ 表示为复数三角形式 $8(\cos\pi + i\sin\pi)$，利用德·摩根公式求三次根。

破题关键点：

• 正确分解因式：注意立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 的应用。
• 二次方程的虚根：通过求根公式处理二次因式时，需正确计算虚数部分。
• 复数根的对称性：三次方程的根在复平面上均匀分布，角度相差 $120^\circ$。

方法一：因式分解法

1. 分解因式：
   原方程 $z^3 + 8 = 0$ 可变形为 $z^3 = -8$。
   利用立方和公式：
   $z^3 + 8 = z^3 + 2^3 = (z + 2)(z^2 - 2z + 4) = 0$
   因此，方程分解为 $(z + 2)(z^2 - 2z + 4) = 0$。

2. 求解线性因式：
   $z + 2 = 0 \implies z = -2$。

3. 求解二次因式：
   解方程 $z^2 - 2z + 4 = 0$，使用求根公式：
   $z = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

结论：方程的根为 $z = -2$，$z = 1 + i\sqrt{3}$，$z = 1 - i\sqrt{3}$。

方法二：复数三角形式

1. 表示复数 $-8$：
   $-8$ 的三角形式为 $8(\cos\pi + i\sin\pi)$。

2. 求三次根：
   根据德·摩根公式，三次根的模为 $\sqrt[3]{8} = 2$，角度为 $\frac{\pi + 2k\pi}{3}$（$k = 0, 1, 2$）。

   • $k = 0$：
     $z_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 1 + i\sqrt{3}$
   • $k = 1$：
     $z_1 = 2\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = -2$
   • $k = 2$：
     $z_2 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 1 - i\sqrt{3}$