题目
4.设函数f(x )在x0处有n阶导数,且 '((x)_(0))=f''((x)_(0))=... =(f)^(n-1)((x)_(0))=0.-|||-^(n)((x)_(0))neq 0, 证明:-|||-(1)当n为奇数时,f(x)在x0处不取得极值;-|||-(2)当n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当 ^(n)((x)_(0))lt 0 时,f(x0)为极大-|||-值,当 ^(n)((x)_(0))gt 0 时,f(x0)为极小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用泰勒公式
根据泰勒公式，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 n 阶展开式为：
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
步骤 2：利用已知条件
根据题目条件，$f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$，且 $f^{(n)}(x_0) \neq 0$，因此泰勒公式简化为：
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
步骤 3：分析极值情况
(1) 当 n 为奇数时，$(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧异号，因此 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧异号，从而 $f(x) - f(x_0)$ 在 $x_0$ 两侧异号，故 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不取得极值。
(2) 当 n 为偶数时，$(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧同号，因此 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧同号，从而 $f(x) - f(x_0)$ 在 $x_0$ 两侧同号。若 $f^{(n)}(x_0) < 0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n < 0$，从而 $f(x) - f(x_0) < 0$，即 $f(x) < f(x_0)$，故 $f(x_0)$ 为极大值；若 $f^{(n)}(x_0) > 0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n > 0$，从而 $f(x) - f(x_0) > 0$，即 $f(x) > f(x_0)$，故 $f(x_0)$ 为极小值。
根据泰勒公式，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 n 阶展开式为：
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
步骤 2：利用已知条件
根据题目条件，$f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$，且 $f^{(n)}(x_0) \neq 0$，因此泰勒公式简化为：
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
步骤 3：分析极值情况
(1) 当 n 为奇数时，$(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧异号，因此 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧异号，从而 $f(x) - f(x_0)$ 在 $x_0$ 两侧异号，故 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不取得极值。
(2) 当 n 为偶数时，$(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧同号，因此 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 在 $x_0$ 两侧同号，从而 $f(x) - f(x_0)$ 在 $x_0$ 两侧同号。若 $f^{(n)}(x_0) < 0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n < 0$，从而 $f(x) - f(x_0) < 0$，即 $f(x) < f(x_0)$，故 $f(x_0)$ 为极大值；若 $f^{(n)}(x_0) > 0$，则 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n > 0$，从而 $f(x) - f(x_0) > 0$，即 $f(x) > f(x_0)$，故 $f(x_0)$ 为极小值。