题目

1. lim_(n to infty ) ((4)/(pi ) arctan (n)/(n+1))^n=( ). (A)e^-(2)/(pi ) (B)e^-(pi )/(2) (C)(pi )/(2) (D)(2)/(pi )

1. $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{4}{\pi } \arctan \frac{n}{n+1}\right)^{n}=( )$. (A)$e^{-\frac{2}{\pi }}$ (B)$e^{-\frac{\pi }{2}}$ (C)$\frac{\pi }{2}$ (D)$\frac{2}{\pi }$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{4}{\pi } \arctan \frac{n}{n+1}\right)^{n}$，我们首先需要分析表达式 inside 的极限行为。

  1. 计算 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 的极限:

    当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n}{n+1} \to 1$。因此，$\arctan \frac{n}{n+1} \to \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。

  2. 将 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 近似为 $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4(n+1)}$:

    为了更精确地分析，我们可以使用 $\arctan x$ 在 $x = 1$ 附近的泰勒展开:
    $\arctan x \approx \arctan 1 + \arctan'(1)(x - 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1)$
    代入 $x = \frac{n}{n+1}$:
    $\arctan \frac{n}{n+1} \approx \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \left(\frac{n}{n+1} - 1\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2(n+1)}$

  3. 将 $\arctan \frac{n}{n+1}$ 代入原表达式:

    $\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right)^n \approx \left(\frac{4}{\pi} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2(n+1)}\right)\right)^n = \left(1 - \frac{2}{\pi(n+1)}\right)^n$

  4. 使用极限公式 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$:

    $\left(1 - \frac{2}{\pi(n+1)}\right)^n \approx \left(1 - \frac{2}{\pi n}\right)^n$
    令 $a = -\frac{2}{\pi}$：
    $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{\pi n}\right)^n = e^{-\frac{2}{\pi}}$

因此，原极限为 $e^{-\frac{2}{\pi}}$，答案是 $\boxed{A}$。