若函数 ∫ π −π （x-a 1cosx-b 1sinx） 2dx= min a，b∈R { ∫ π −π （x-acosx-bsinx） 2dx}，则a 1cosx+b 1sinx=（　　） A. 2sinx B. 2cosx C. 2πsinx D. 2πcosx

考查要点：本题主要考查函数在正交函数系下的最佳平方逼近问题，涉及定积分的计算及多元函数极值的求解。

解题核心思路：

1. 展开积分表达式，利用正交性简化计算；
2. 计算各积分项，将原积分转化为关于$a$和$b$的二次函数；
3. 求多元函数的极小值点，确定$a_1$和$b_1$的值。

破题关键点：

• 正交性：$\cos x$和$\sin x$在对称区间$[-π, π]$上的正交性，使得交叉项积分简化；
• 极值条件：对$a$和$b$分别求偏导并令其为零，得到方程组。

步骤1：展开积分表达式

原积分展开为：
$\int_{-π}^{π} (x - a\cos x - b\sin x)^2 dx = \int_{-π}^{π} x^2 dx - 2a \int_{-π}^{π} x\cos x dx - 2b \int_{-π}^{π} x\sin x dx + a^2 \int_{-π}^{π} \cos^2 x dx + 2ab \int_{-π}^{π} \cos x \sin x dx + b^2 \int_{-π}^{π} \sin^2 x dx.$

步骤2：计算各积分项

根据题目给出的积分结果：

• $\int_{-π}^{π} x^2 dx = \frac{2}{3}π^3$
• $\int_{-π}^{π} \cos^2 x dx = \int_{-π}^{π} \sin^2 x dx = π$
• $\int_{-π}^{π} x\cos x dx = 0$（奇函数在对称区间积分）
• $\int_{-π}^{π} x\sin x dx = 2π$
• $\int_{-π}^{π} \cos x \sin x dx = 0$（正交性）

代入后，积分表达式化简为：
$\frac{2}{3}π^3 + \frac{π}{2}(a^2 + b^2) - 4πb.$

步骤3：求极小值点

将表达式视为关于$a$和$b$的二次函数：
$f(a, b) = \frac{π}{2}(a^2 + b^2) - 4πb + \text{常数}.$
对$a$和$b$分别求偏导并令其为零：

• $\frac{\partial f}{\partial a} = πa = 0 \Rightarrow a = 0$
• $\frac{\partial f}{\partial b} = πb - 4π = 0 \Rightarrow b = 2$

因此，$a_1 = 0$，$b_1 = 2$，对应的表达式为$2\sin x$。