2.求心形线 ρ=a(1+cosθ),a>0 所围成图形的面积.

心形线 $\rho = a(1 + \cos \theta)$ 关于极轴对称，可计算极轴上方部分面积后乘以 2。 面积公式为： \[ A = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} [a(1 + \cos \theta)]^2 \, d\theta = a^2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta) \, d\theta \] 利用 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，得： \[ A = a^2 \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{2} + 2\cos \theta + \frac{\cos 2\theta}{2} \right) \, d\theta \] 计算积分： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{3}{2} \, d\theta = \frac{3\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} 2\cos \theta \, d\theta = 0, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} \, d\theta = 0 \] 总积分值为 $\frac{3\pi}{2}$，故面积为： \[ A = a^2 \times \frac{3\pi}{2} = \boxed{\frac{3\pi a^2}{2}} \]