下列函数为有界函数的是.A. y = a^xB. y = arctan xC. y = x^2D. y = tan x

本题考查有界函数的概念，解题思路是根据有界函数的定义，分别分析每个选项中函数的值域，判断其是否有界。

有界函数的定义为：设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在正数$M$，使得$\vert f(x)\vert\leq M$对任一$x\in D$都成立，则称函数$f(x)$在$D$上有界。

选项A

对于函数$y = a^x$（$a>0$且$a\neq1$）：

• 当$a > 1$时，函数$y = a^x$在$R$上单调递增，且$\lim\limits_{x\to +\infty} a^x = +\infty$，$\lim\limits_{x\to -\infty} a^x = 0$，这意味着当$x$趋于正无穷时，函数值会无限增大，不存在一个正数$M$，使得$\vert a^x\vert\leq M$对所有$x\in R$都成立，所以$y = a^x$在$R$上无界。
• 当$0 < a < 1$时，函数$y = a^x$在$R$上单调递减，且$\lim\limits_{x\to +\infty} a^x = 0$，$\lim\limits_{x\to -\infty} a^x = +\infty$，即当$x$趋于负无穷时，函数值会无限增大，同样不存在一个正数$M$，使得$\vert a^x\vert\leq M$对所有$x\in R$都成立，所以$y = a^x$在$R$上无界。

选项B

对于函数$y = \arctan x$，其定义域为$R$，值域为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
取$M = \frac{\pi}{2}$，则对于任意的$x\in R$，都有$\vert\arctan x\vert < \frac{\pi}{2}\leq M$，满足有界函数的定义，所以$y = \arctan x$是有界函数。

选项C

对于函数$y = x^2$，其定义域为$R$。
因为$\lim\limits_{x\to \pm\infty} x^2 = +\infty$，这表明当$x$的绝对值无限增大时，函数值会无限增大，不存在一个正数$M$，使得$\vert x^2\vert\leq M$对所有$x\in R$都成立，所以$y = x^2$在$R$上无界。

选项D

对于函数$y = \tan x$，其定义域为$\{x\mid x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in Z\}$。
在其定义域内，$\lim\limits_{x\to k\pi + \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty$，$\lim\limits_{x\to k\pi + \frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty$（$k\in Z$），即当$x$趋近于$k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k\in Z$）时，函数值会趋于正无穷或负无穷，不存在一个正数$M$，使得$\vert\tan x\vert\leq M$对所有$x$在其定义域内都成立，所以$y = \tan x$在其定义域上无界。