题目

10-17 在圆孔夫琅禾费衍射中，设圆孔半径为0.10mm，透镜焦距为50cm，所用单色光波长为500nm，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的艾里斑半径。

题目解答

答案

1. 计算衍射角:

首先，由于给定的是半径，需要计算孔径（圆孔的直径）:

$D = 2 \times 0.10\text{mm} = 0.20\text{mm} = 2.0 \times 10^{-4}\text{m}$

使用公式计算衍射角的正弦值：

$\sin\theta = 1.22 \times \frac{\lambda}{D}$

$\sin\theta = 1.22 \times \frac{500 \times 10^{-9}\text{m}}{2.0 \times 10^{-4}\text{m}}$

$\sin\theta = 3.05 \times 10^{-3}$

2. 计算艾里斑的半径:

使用近似 $\tan\theta \approx \sin\theta ：$

$r = f \times \tan\theta$

$r = 50\text{cm} \times 3.05 \times 10^{-3}$

$r = 0.1525\text{cm}$

$r = 1.525\text{mm}$

3. 结论:

在透镜焦平面上呈现的艾里斑半径为1.525mm。

解析

步骤 1：计算孔径
首先，由于给定的是半径，需要计算孔径（圆孔的直径）:
$D=2\times 0.10mm=0.20mm=2.0\times {10}^{-4}m$

步骤 2：计算衍射角的正弦值
使用公式计算衍射角的正弦值：
$\sin \theta =1.22\times \dfrac {\lambda }{D}$
$\sin \theta =1.22\times \dfrac {500\times {10}^{-9}m}{2.0\times {10}^{-4}m}$
$\sin \theta =3.05\times {10}^{-3}$

步骤 3：计算艾里斑的半径
使用近似 $\tan\theta \approx \sin\theta$:
$r=f\times \tan \theta$
$r=50cm\times 3.05\times {10}^{-3}$
$r=0.1525cm$
$r=1.525mm$