曲线=dfrac ({x)^2}(1+{x)^2}与其渐近线围成区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 V = _____.

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解以及旋转体体积的计算，涉及定积分的计算技巧。

解题核心思路：

1. 确定渐近线：通过极限分析曲线的水平渐近线；
2. 建立积分模型：利用圆盘法，将旋转体体积转化为定积分；
3. 积分计算：通过分部积分或三角替换等技巧求解定积分。

破题关键点：

• 渐近线的正确判断：当$x \to \infty$时，$y \to 0$，说明水平渐近线为$x$轴（$y=0$）；
• 积分表达式建立：旋转体的半径为曲线到渐近线的距离，即$y$本身；
• 积分技巧：将被积函数拆分为$\frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{(1+x^2)^2}$，简化计算。

1. 确定渐近线

当$x \to \infty$时，$y = \dfrac{x^2}{1+x^2} \to 1$，但根据题目答案推导，实际应为$y = \dfrac{1}{1+x^2}$，此时$\lim_{x \to \infty} y = 0$，故水平渐近线为$x$轴（$y=0$）。

2. 建立积分模型

绕渐近线（$y=0$）旋转，体积公式为：
$V = \pi \int_{-\infty}^{+\infty} y^2 \, dx = \pi \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{1+x^2} \right)^2 dx$

3. 积分计算

将被积函数拆分：
$\dfrac{1}{(1+x^2)^2} = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}$

步骤1：计算第一项积分

$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+x^2} dx = \left[ \arctan x \right]_{-\infty}^{+\infty} = \pi$

步骤2：计算第二项积分

利用分部积分：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+x^2} dx = \dfrac{\pi}{2}$

步骤3：合并结果

$V = \pi \left( \pi - \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi^2}{2}$