2 (int )_(1)^2xln xdx=

步骤 1：确定积分方法
为了计算积分 ${\int }_{1}^{2}x\ln xdx$，我们使用分部积分法。分部积分法的公式为 ${\int }u dv = uv - {\int }v du$。这里，我们选择 $u = \ln x$ 和 $dv = x dx$。

步骤 2：计算 $du$ 和 $v$
根据选择的 $u$ 和 $dv$，我们有 $du = \frac{1}{x} dx$ 和 $v = \frac{1}{2}x^2$。

步骤 3：应用分部积分法
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式，得到：
${\int }_{1}^{2}x\ln xdx = \left[\frac{1}{2}x^2\ln x\right]_{1}^{2} - {\int }_{1}^{2}\frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx$。

步骤 4：简化积分
简化上述表达式，得到：
${\int }_{1}^{2}x\ln xdx = \left[\frac{1}{2}x^2\ln x\right]_{1}^{2} - {\int }_{1}^{2}\frac{1}{2}x dx$。

步骤 5：计算定积分
计算定积分，得到：
${\int }_{1}^{2}x\ln xdx = \left[\frac{1}{2}x^2\ln x\right]_{1}^{2} - \left[\frac{1}{4}x^2\right]_{1}^{2}$。

步骤 6：代入上下限
代入上下限，得到：
${\int }_{1}^{2}x\ln xdx = \left(\frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \ln 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \ln 1\right) - \left(\frac{1}{4} \cdot 2^2 - \frac{1}{4} \cdot 1^2\right)$。

步骤 7：计算结果
计算上述表达式，得到：
${\int }_{1}^{2}x\ln xdx = 2\ln 2 - 0 - \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4}$。